Question

【題目】已知如圖平面直角坐標系中，點O是坐標原點，矩形ABCO是頂點坐標分別為A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．點D在y軸上，且點D的坐標為（0，﹣5），點P是直線AC上的一動點．

（1）當點P運動到線段AC的中點時，求直線DP的解析式（關系式）；

（2）當點P沿直線AC移動時，過點D、P的直線與x軸交于點M．問在x軸的正半軸上是否存在使△DOM與△ABC相似的點M？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）當點P沿直線AC移動時，以點P為圓心、R（R＞0）為半徑長畫圓．得到的圓稱為動圓P．若設動圓P的半徑長為，過點D作動圓P的兩條切線與動圓P分別相切于點E、F．請探求在動圓P中是否存在面積最小的四邊形DEPF？若存在，請求出最小面積S的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x﹣5；（2）若△DOM與△CBA相似，則點M的坐標為（，0）或（，0）；（3）

【解析】

試題（1）只需先求出AC中點P的坐標，然后用待定系數法即可求出直線DP的解析式．

（2）由于△DOM與△ABC相似，對應關系不確定，可分兩種情況進行討論，利用三角形相似求出OM的長，即可求出點M的坐標．

（3）易證S△PED=S△PFD．從而有S四邊形DEPF=2S△PED=DE．由∠DEP=90°得DE2=DP2﹣PE2=DP2﹣．根據“點到直線之間，垂線段最短”可得：當DP⊥AC時，DP最短，此時DE也最短，對應的四邊形DEPF的面積最�。�借助于三角形相似，即可求出DP⊥AC時DP的值，就可求出四邊形DEPF面積的最小值．

解：（1）過點P作PH∥OA，交OC于點H，如圖1所示．

∵PH∥OA，

∴△CHP∽△COA．

∴==．

∵點P是AC中點，

∴CP=CA．

∴HP=OA，CH=CO．

∵A（3，0）、C（0，4），

∴OA=3，OC=4．

∴HP=，CH=2．

∴OH=2．

∵PH∥OA，∠COA=90°，

∴∠CHP=∠COA=90°．

∴點P的坐標為（，2）．

設直線DP的解析式為y=kx+b，

∵D（0，﹣5），P（，2）在直線DP上，

∴

∴

∴直線DP的解析式為y=x﹣5．

（2）①若△DOM∽△ABC，圖2（1）所示，

∵△DOM∽△ABC，

∴=．

∵點B坐標為（3，4），點D的坐標為（0．﹣5），

∴BC=3，AB=4，OD=5．

∴=．

∴OM=．

∵點M在x軸的正半軸上，

∴點M的坐標為（，0）

②若△DOM∽△CBA，如圖2（2）所示，

∵△DOM∽△CBA，

∴=．

∵BC=3，AB=4，OD=5，

∴=．

∴OM=．

∵點M在x軸的正半軸上，

∴點M的坐標為（，0）．

綜上所述：若△DOM與△CBA相似，則點M的坐標為（，0）或（，0）．

（3）∵OA=3，OC=4，∠AOC=90°，

∴AC=5．

∴PE=PF=AC=．

∵DE、DF都與⊙P相切，

∴DE=DF，∠DEP=∠DFP=90°．

∴S△PED=S△PFD．

∴S四邊形DEPF=2S△PED

=2×PEDE

=PEDE

=DE．

∵∠DEP=90°，

∴DE2=DP2﹣PE2．

=DP2﹣．

根據“點到直線之間，垂線段最短”可得：

當DP⊥AC時，DP最短，

此時DE取到最小值，四邊形DEPF的面積最�。�

∵DP⊥AC，

∴∠DPC=90°．

∴∠AOC=∠DPC．

∵∠OCA=∠PCD，∠AOC=∠DPC，

∴△AOC∽△DPC．

∴=．

∵AO=3，AC=5，DC=4﹣（﹣5）=9，

∴=．

∴DP=．

∴DE2=DP2﹣

=（）2﹣

=．

∴DE=，

∴S四邊形DEPF=DE

=．

∴四邊形DEPF面積的最小值為．