Question

【題目】如圖，在同一平面內，將兩個全等的等腰直角三角形擺放在一起（如圖1），點A為公共頂點，∠BAC＝∠AED＝90°，它們的斜邊長為2．若△ABC固定不動，把△ADE繞點A旋轉到如圖2的位置時，AD、AE與邊BC的交點分別為M、N（點M不與點B重合，點N不與點C重合）．

（1）證明：△BAN∽△CMA；

（2）求BNCM的值；

（3）當△ADE繞點A繼續旋轉到如圖3的位置時，AD交BC于點M，AE、BC的延長線交于點N，此時BNCM的值是否發生變化？請你說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）BNCM=2；（3）不變，理由見詳解.

【解析】

（1）由題意可得∠BAN=∠BAD+45°，∠CMA=∠BAD+45°，即可證得∠BAN=∠CMA，又由∠B=∠C=45°，即可證得△BAN∽△CMA；

（2）由△BAN∽△CMA，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得BNCM的值；

（3）由∠BAN=∠BAD+45°，∠CMA=∠BAD+45°，即可證得∠BAN=∠CMA，又由∠B=∠ACM=45°，即可證得△BAN∽△CMA，然后由相似三角形的對應邊成比例，證得結論．

解：（1）證明：∵∠BAN=∠BAD+45°，∠CMA=∠BAD+45°，

∴∠BAN=∠CMA，

又∵∠B=∠C=45°，

∴△BAN∽△CMA；

（2）解：∵△BAN∽△CMA，

∴BN：CA=BA：CM，

∵斜邊長為2，

∴AC=AB=，

∴BNCM=ABAC=2；

（3）解：不變．

理由：∵∠BAN=∠BAD+45°，∠CMA=∠BAD+45°，

∴∠BANE=∠CMA，

又∵∠B=∠ACM=45°，

∴△BAN∽△CMA，

∴BN：CA=BA：CM，

∵AC=AB=，

∴BNCM= ABAC=2．