Question

【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是BC邊上任意一點,求證：BD+CD=2AD.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

作AE⊥BC于E，由于∠BAC=90°，AB=AC，所以BE=CE，要證明BD+CD=2AD，只需找出BD、CD、AD三者之間的關系即可，由勾股定理可得出AD=AE+ED，AE=AB-BE=AC-CE，ED=BD-BE=CE-CD，代入求出三者之間的關系即可得證．

證明：作AE⊥BC于E，如圖所示：

由題意得：ED=BDBE=CECD，

∵在△ABC中,∠BAC=90°，AB=AC，

∴BE=CE=BC，

由勾股定理可得：

AB+AC=BC，

AE=ABBE=ACCE，，

AD=AE+ED，

2ADimg src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2020/11/22/06/793bb150/SYS202011220603314423751839_DA/SYS202011220603314423751839_DA.001.png" width="11" height="20" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />=2AE+2ED=ABBE+(BDBE) +ACCE+(CECD)

=AB+AC+BD+CD2BD×BE2CD×CE=AB+AC+BD+CD2×BC×BC

=BD+CD,

即,BD+CD=2AD