Question

【題目】如圖1，直線AD對應的函數關系式為y=﹣2x﹣2，與拋物線交于點A（在x軸上），點D．拋物線與x軸另一交點為B（3，0），拋物線與y軸交點C（0，﹣6）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2，連結CD，過點D作x軸的垂線，垂足為點E，直線AD與y軸交點為F，若點P由點D出發以每秒1個單位的速度沿DE邊向點E移動，1秒后點Q也由點D出發以每秒3個單位的速度沿DC，CO，OE邊向點E移動，當其中一個點到達終點時另一個點也停止移動，點P的移動時間為t秒，當PQ⊥DF時，求t的值；（圖3為備用圖）

（3）如果點M是直線BC上的動點，是否存在一個點M，使△ABM中有一個角為45°？如果存在，直接寫出所有滿足條件的M點坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=2x2﹣4x﹣6（2）當t=2時，有PQ⊥DF（3）點M（7，8），（，），（ ， ），（ ， ）

【解析】試題分析：（1）求出點A坐標，把A、B、C三點代入拋物線解析式解方程組即可．

（2）分三種情形討論①當Q點在CD上時②點Q在CO上時③點Q在OE上時，利用相似三角形的性質路程方程求出t，并且判斷是否符合題意即可．

（3）分三種情況：①當∠MAB=45°且M在x軸上方時，則直線過A和P(0， 1)，求出直線AP的解析式和直線AP與直線BC的交點即可；

②當∠MAB=45°且M在x軸下方時，則直線過A和Q(0，－1)，類似可求M的坐標；

③若∠AMB=45°，過A作AP⊥BC于P，則△APM是等腰直角三角形，得到AP=PM．求出直線AP的解析式，然后求出直線AP和直線CB的交點P的坐標，由MP=AP，用兩點間的距離公式，列方程求解即可．

試題解析：解：（1）令y=0，則﹣2x﹣2=0，解得：x=﹣1，所以點A坐標（﹣1，0），設拋物線解析式為y=ax2+bx+c．∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣6）在拋物線上，∴，解得：，∴拋物線解析式為y=2x2﹣4x﹣6．

（2）y=2x﹣2，令x=0，y=﹣2，∴F（0，﹣2），由解得或，∴點D坐標（2，﹣6）．∵點C（0，﹣6），∴CD⊥CF，∴∠DCF=90°，由題意：P點移動的路程為DP=t，Q點移動的路程為3（t﹣1）=3t﹣3，當Q點在CD上時，即0＜3t﹣3≤2時，1＜t≤時，如圖1中，若PQ⊥DF，則有Rt△QDP∽Rt△FCD，

∴=，即=，∴t=3，3＞，∴此時t不合題意．

當點Q在CO上時，2＜3t﹣3≤8，＜t≤時，如圖2中，過點P作PK⊥OC于K，

∴CK=PD=t，CQ=3（t﹣1）﹣2=3t﹣5，若PQ⊥DF，則有Rt△PKQ∽Rt△FCD，∴，即=，∴t=2．∵＜t≤，∴t=2符合題意．

當點Q在OE上時，即8≤3t﹣3≤10，≤t≤時，如圖3中，

若PQ⊥DF，過點Q作QG∥DF交DE于G，則QG⊥QP，即∠GQP=90°，∴∠QPE＞90°，這與△QPE內角和為180°矛盾，此時PQ不與DF垂直．

綜上所述：當t=2時，有PQ⊥DF．

（3）分三種情況討論：

①當∠MAB=45°且M在x軸上方時．∵A（-1，0）在y軸上取點P（0，1）直線AP交在線CB于M，則∠MAB=45°，如圖4．易求直線AP為y=x+1，易求直線BC的解析式為：y=2x－6，解方程組：，解得：，∴M（7，8）；

②當∠MAB=45°且M在x軸下方時．在y軸上取點Q（0，－1）直線AQ交在線CB于M′，則∠M′AB=45°，類似可求M（，）；

③若∠AMB=45°，過A作AP⊥BC于P，則△APM是等腰直角三角形，∴AP=PM．如圖5．∵AP⊥CB，∴直線AP為，解方程組：，解得：，∴P（，），∴AP==．設M（a，2a－6），則MP=AP，∴=，整理得：25a2-110a+57=0，∴（5a-19）（5a-3）=0，解得：a=或a=，∴M（，）或M′（，）．

綜上所述：存在一個點M，使△ABM中有一個角為45°，M的坐標為：M（7，8）或（，）或（，）或（，）．