Question

如圖甲所示，已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)E，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，4）；
（1）求拋物線函數(shù)關(guān)系式；
（2）矩形ABCD的頂點(diǎn)A與點(diǎn)O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD=2，AB=3，將矩形ABCD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從圖甲所示的位置沿x軸的正方向勻速平移，同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)P也以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速移動(dòng)，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0≤t≤3），直線AB與該拋物線的交點(diǎn)為N（如圖乙所示）．
①當(dāng)t=

5

2

時(shí)，判斷點(diǎn)P是否在直線ME上，并說(shuō)明理由；
②設(shè)以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積為S，試問(wèn)S是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
③現(xiàn)將甲圖中的拋物線向右平移m（m＞0）個(gè)單位，所得拋物線與x軸交于G、F兩點(diǎn)，與原拋物線交于點(diǎn)Q，設(shè)△FGQ的面積為S，求S關(guān)于m的函關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-2）²+4，將原點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式就可以求出a的值，從而求出函數(shù)的解析式．
（2）①由（1）拋物線的解析式可以求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可以求出ME的解析式，再將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的解析式就可以判斷P點(diǎn)是否在直線ME上．
②設(shè)出點(diǎn)N（t，-（t-2）²+4），可以表示出PN的值，根據(jù)梯形的面積公式可以表示出S與t的函數(shù)關(guān)系式，從而可以求出結(jié)論．
③通過(guò)平移后可以表示出其解析式，利用其解析式就可以求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式就可以求出S與m的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-2）²+4，
∵拋物線過(guò)點(diǎn)m（2，4）和原點(diǎn)，
∴0=4a+4，
∴a=-1
∴拋物線的解析式為：y=-（x-2）²+4

（2）①∵y=-（x-2）²+4
∴當(dāng)y=0時(shí)，-（x-2）²+4=0，
∴x₁=0，x₂=4，
∴E（4，0），
設(shè)直線ME的解析式為：y=kx+b，則

4=2k+b 0=4k+b

，
解得：

k=-2 b=8

，
∴直線ME的解析式為：y=-2x+8，
∵矩形ABCD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從圖甲所示的位置沿x軸的正方向勻速平移，同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)P也以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速移動(dòng)，
∴當(dāng)t=

5

2

時(shí)，P（

5

2

，

5

2

）
∴當(dāng)x=

5

2

時(shí)，y=3≠

5

2

，
∴當(dāng)t=

5

2

時(shí)，點(diǎn)P不在直線ME上．

②設(shè)點(diǎn)N（t，-（t-2）²+4），則P（t，t），
∴PN=-t²+3t，
∵AD=2，AB=3
∴S=

(-t2+3t+3)×2

2

=-t²+3t+3，
∴S=-（t²-3t+

9

4

-

9

4

）+3=-（t-

3

2

）²+

21

4

∴當(dāng)t=

3

2

時(shí)，S的最大值是

21

4

；

③由題意可以知道經(jīng)過(guò)F、G的拋物線的解析式為：y=-（x-2-m）²+4，
∵經(jīng)過(guò)O、E的拋物線的解析式為：y=-（x-2）²+4，
∴

y=-(x-2-m)2+4 y=-(x-2)2+4

，解得m=0（m＞0，故舍去），或x=

4+m

2

，
∴

x= 4+m 2 y=- m2 4 +4

，
∴S=

(- m2 4 +4)×4

2

=|-

m2

2

+8|
如圖：當(dāng)Q點(diǎn)在x軸的下方的時(shí)候，同樣可以得出：
S=

|- m2 4 +4|×4

2

=|-

m2

2

+8|

點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的最值，三角形的面積公式的運(yùn)用，梯形的面積公式的運(yùn)用．