Question

【題目】如圖1，已知正方形ABCD的頂點A，B分別在y軸和x軸上，邊CD交x軸的正半軸于點E．

（1）若A（0，a），且，求A點的坐標；

（2）在（l）的條件下，若3AO=4EO，求D點的坐標；

（3）如圖2，連結AC交x軸于點F，點H是A點上方y軸上一動點，以AF、AH為邊作平行四邊形AFGH，使G點恰好落在AD邊上，試探討BF，HG與DG的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）A（0，4）或（0，）；（2）D（4，2）或（4，）；（3）2HG2＋DG2＝4BF2，詳見解析

【解析】

（1）由，得出a=±4，即可得出結果；

（2）當A（0,4）時，作DN⊥OE于N，作AM⊥DN于M，連AE，由AAS證得△AOB≌△AMD，得出AM＝AO＝4，求出EO＝3，在Rt△AOE中，AE2＝AO2＋EO2＝25，在Rt△ADE中，AD2＋DE2＝AE2，設D（4，m），代入求出m＝2，即可得出結果；同理當A（0,-4）時，可求出D點坐標；

（3）作FP⊥AD于P，連DF，在Rt△AFP中，得到HG＝AF＝PF，證明BF＝DF與BF＝GF，得出點P是DG的中點，在Rt△PDF中，PF2＋DP2＝DF2，即（）2＋（）2＝BF2，即可得出結果．

（1）解：∵,

∴a=±4，

∴A點的坐標為（0，4）或（0，-4）；

（2）當A點的坐標為（0，4）時

作DN⊥OE于N，作AM⊥DN于M，連AE，如圖1所示：

則∠BAD＝∠OAM＝90°，

即∠BAO＋∠OAD＝∠OAD＋∠DAM，

∴∠BAO＝∠DAM，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠ADE＝90°，

在△AOB與△AMD中，

，

∴△AOB≌△AMD（AAS），

∴AM＝AO＝4，

∴四邊形AONM是正方形，

∴MN＝ON＝4，

∵3AO＝4EO，

∴EO＝3，

在Rt△AOE中，AE2＝AO2＋EO2＝42＋32＝25，

在Rt△AMD中，AD2＝AM2＋DM2，

在Rt△DNE中，ED2＝EN2＋DN2，

在Rt△ADE中，AD2＋DE2＝AE2，

∴AM2＋DM2＋EN2＋DN2＝25，

設D（4，m），則DM＝4m，EN＝43＝1，DN＝m，

∴4span>2＋（4m）2＋12＋m2＝25，

∴m＝2，

∴D（4，2）

當A點的坐標為（0，-4）時，

同理可得D（4，-2）

（3）解：2HG2＋DG2＝4BF2，理由如下：

過點F作FP⊥AD于P，連DF，如圖2所示：

∵四邊形AFGH是平行四邊形，

∴HG＝AF，AH∥GF，

∴∠FGA＝∠GAH，

∴∠FGD＝∠OAG，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC＝DC，∠CAD＝∠BCF＝∠DCF＝45°，∠BAD＝∠CDA＝∠ABC＝90°，

∴△APF是等腰直角三角形，

∴PF=AP,

∴

∴AF＝PF，

∴HG＝AF＝PF，

故PF＝，

在△BCF和△DCF中，

，

∴△BCF≌△DCF（SAS），

∴BF＝DF，∠CBF＝∠CDF，

∵∠FDG＝90°∠CDF，∠ABO＝90°∠CBF，

∴∠FDG＝∠ABO，

∵∠OAG＋∠OAB＝90°，∠ABO＋∠OAB＝90°，

∴∠OAG＝∠ABO，

∴∠FGD＝∠FDG，

∴GF＝DF＝BF，

∴點P是DG的中點，

∴DP＝，

在Rt△PDF中，PF2＋DP2＝DF2，

即（）2＋（）2＝BF2，

∴2HG2＋DG2＝4BF2．