Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標為Q（2，﹣1），且與y軸交于點C（0，3），與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側），點P是拋物線上的一動點，從點C沿拋物線向點A運動（點P與A不重合），過點P作PD∥y軸，交AC于點 D．

（1）求該拋物線的函數關系式及A、B兩點的坐標；

（2）求點P在運動的過程中，線段PD的最大值；

（3）若點P與點Q重合，點E在x軸上，點F在拋物線上，問是否存在以A，P，E，F為頂點的平行四邊形？若存在，直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；A（3，0），B（1，0）；（2）x＝時，PD取得最大值，最大值為；（3）存在；F點坐標（2﹣，1）和（2+，1）．

【解析】

（1）由拋物線的頂點坐標，可得出拋物線的頂點式，代入點C的坐標可求出a的值，進而可得出拋物線的函數關系式，再利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點A，B的坐標；
（2）由點A，C的坐標，利用待定系數法可求出直線AC的函數關系式，設點P的坐標為（x，x2-4x+3）（0≤x＜3），則點D的坐標為（x，-x+3），進而可得出PD=-x2+3x，再利用二次函數的性質即可解決最值問題；
（3）分AP為邊及AP為對角線兩種情況考慮：①以AP為邊構造平行四邊形，平移直線AP交x軸于點E，交拋物線于點F，由點A的坐標可設點F的坐標為（x，1），利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出x的值，進而可得出點F的坐標；②以AP為對角線進行構造平行四邊形，由點A，E的縱坐標為0，可得出點F的縱坐標為-1，此時點P，F重合，進而可得出不存在這種情況，舍去．綜上，此題得解．

解：（1）∵拋物線的頂點為Q（2，﹣1），

∴拋物線的函數關系式為y＝a（x﹣2）2﹣1，

將C（0，3）代入y＝a（x﹣2）2﹣1，得：3＝a（0﹣2）2﹣1，

解得：a＝1，

∴拋物線的函數關系式為y＝（x﹣2）2﹣1，即y＝x2﹣4x+3．

當y＝0時，有x2﹣4x+3＝0，即（x﹣1）（x﹣3）＝0，

解得：x1＝1，x2＝3，

又∵拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的右側），

∴點A的坐標為（3，0），點B的坐標為（1，0）．

（2）設直線AC的函數關系式為y＝mx+n（m≠0），

將A（3，0），C（0，3）代入y＝mx+n，得：

解得：，

∴直線AC的函數關系式為y＝﹣x+3．

設點P的坐標為（x，x2﹣4x+3）（0≤x＜3），則點D的坐標為（x，﹣x+3），

∴PD＝﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+ ，

∵﹣1＜0，

∴當x＝時，PD取得最大值，最大值為．

（3）分兩種情況考慮：

①以AP為邊構造平行四邊形，平移直線AP交x軸于點E，交拋物線于點F，

∵點P的坐標為（2，﹣1），

∴設點F的坐標為（x，1），

∴x2﹣4x+3＝1，解得：x1＝2﹣，x2＝2+，

∴點F的坐標為（2﹣，1）和（2+，1）；

②以AP為對角線進行構造平行四邊形，

∵點A，E的縱坐標為0，

∴點F的縱坐標為﹣1，此時點P，F重合，

∴不存在這種情況，舍去．

綜上所述，符合條件的F點有兩個，即（2﹣，1）和（2+，1）．