Question

【題目】如圖1，拋物線過點A(－1，0)，B(4，0)，與y軸相交于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在x軸正半軸上存在點E，使得△BCE是等腰三角形，請求出點E的坐標；

（3）如圖2，點D是直線BC上方拋物線上的一個動點．過點D作DM⊥BC于點M，是否存在點D，使得△CDM中的某個角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，請求出點D的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，2或

【解析】

（1）根據點A，B的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；
（2）利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標，結合點B的坐標可得出BC的長，設點E的坐標為（m，0），分BE=BC及CE=BE兩種情況考慮：①當BE=BC時，由BE=2結合點B的坐標可得出點E的坐標；②當CE=BE時，在Rt△OCE中利用勾股定理可得出關于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，進而可得出點E的坐標；
（3）分∠DCM=2∠ABC及∠CDM=2∠ABC兩種情況考慮：①當∠DCM=2∠ABC時，取點F（0，-2），連接BF，則CD∥BF，由點B，F的坐標，利用待定系數法可求出直線BF，CD的解析式，聯立直線CD及拋物線的解析式成方程組，通過解方程組可求出點D的坐標；②當∠CDM=2∠ABC時，過點C作CN⊥BF于點N，作點N關于BC的對稱點P，連接NP交BC于點Q，利用待定系數法及垂直的兩直線一次項系數乘積為-1可求出直線CN的解析式，聯立直線BF及直線CN成方程組，通過解方程組可求出點N的坐標，利用對稱的性質可求出點P的坐標，由點C、P的坐標，利用待定系數法可求出直線CP的解析式，將直線CP的解析式代入拋物線解析式中可得出關于x的一元二次方程，解之取其非零值可得出點D的橫坐標．綜上，此題得解．

解：（1）． ∵拋物線過點,，

∴

解得

∴二次函數的表達式為：

（2）拋物線,

當時，； 當時，；

∴,,

∴,

①當時，如圖1，點是線段的中垂線與軸的交點，

設，則，在RT△OCE中，

，解得,

∴

②當時，

∴

（3）分兩種情況考慮：

①當∠DCM=2∠ABC時，取點F（0，-2），連接BF，如圖4所示．
∵OC=OF，OB⊥CF，
∴∠ABC=∠ABF，
∴∠CBF=2∠ABC．
∵∠DCB=2∠ABC，
∴∠DCB=∠CBF，
∴CD∥BF．
∵點B（4，0），F（0，-2），
∴直線BF的解析式為y=x-2，
∴直線CD的解析式為y=x+2．
聯立直線CD及拋物線的解析式成方程組，得： ，
解得： （舍去）， ，
∴點D的坐標為（2，3）；
②當∠CDM=2∠ABC時，過點C作CN⊥BF于點N，作點N關于BC的對稱點P，連接NP交BC于點Q，如圖5所示．

設直線CN的解析式為y=kx+c（k≠0），
∵直線BF的解析式為y=x-2，CN⊥BF，
∴k=-2．
又∵點C（0，2）在直線CN上，
∴直線CN的解析式為y=-2x+2．
連接直線BF及直線CN成方程組，得：，
解得：，
∴點N的坐標為（）．
∵點B（4，0），C（0，2），
∴直線BC的解析式為y=-x+2．
∵NP⊥BC，且點N（），
∴直線NP的解析式為y=2x-．
聯立直線BC及直線NP成方程組，得：，
解得： ，
∴點Q的坐標為（）．
∵點N（），點N，P關于BC對稱，
∴點P的坐標為（）．
∵點C（0，2），P（），
∴直線CP的解析式為y=x+2．
將y=x+2代入y=-x+2整理，得：11x2-29x=0，
解得：x1=0（舍去），x2=，
∴點D的橫坐標為．
綜上所述：存在點D，使得△CDM的某個角恰好等于∠ABC的2倍，點D的橫坐標為2或．