Question

（2011•自貢）如圖，在平面直角坐標系中，半徑為1的⊙B經過坐標原點0，且與x軸、y軸分別交于A，C兩點，過O作⊙B的切線與AC的延長線交于點D．已知點A的坐標為（

3

，0）．
（1）求sin∠CAO的值；
（2）若反比例函數的圖象經過點D，求該反比例函數的解析式．

Answer 1

分析：（1）由A的坐標及A的位置，得到OA的長，再由AC為圓的直徑，根據半徑的長得出AC的長，在直角三角形OAC中，根據勾股定理求出OC的長，進而根據∠CAO的對邊OC及斜邊AC的長，利用銳角三角形函數定義即可求出sin∠CAO的值；
（2）連接OB，由OD為圓B的切線，根據切線的性質得到OB與OD垂直，即∠BOD為直角，又OA=OB，根據等邊對等角可得一對角相等，再由∠CBO為三角形AOB的外角，根據外角性質可得出∠CBO的度數，進而在直角三角形BOD中求出∠ODB的度數，可得出∠ODB=∠OAD，根據等角對等邊可得OA=OD，由OA的長得出OD的長，然后過D作DE垂直于x軸，由∠DOE為三角形AOD的外角，得出∠DOE的度數，根據斜邊OD的長，利用正弦及余弦函數定義求出DE與OE的長，進而確定出點D的坐標，設過D的反比例函數解析式為y=

k

x

，把D坐標代入確定出k的值，即可確定出反比例的解析式．

解答：解：（1）由A（

3

，0）得，OA=

3

，
在Rt△AOC中，由AC=2，OA=

3

，
根據勾股定理得：OC=

AC2-AO2

=1，
則在Rt△AOC中，sin∠CAO=

OC

AC

=

1

2

；
（2）連接0B，過D作DE⊥x軸于點E，

∵OD切⊙B于0，∴0B⊥OD，
∵在Rt△AOC中，sin∠CAO=

1

2

，
∵BA=OB，
∴∠CAO=∠BOA=30°，
∴∠DBO=∠CAO+∠BOA=2∠BOA=60°，又∠BOD=90°，
∴∠ODB=30°，即∠ODA=∠OAD，
∴OD=OA=

3

，
∵∠DOE=60°，DO=

3

，
∴OE=

1

2

0D=

3

2

，DE=OD•sin60°=

3

2

，
∴點D坐標為（-

3

2

，

3

2

），
設反比例函數解析式為y=

k

x

，由其圖象過點D，
∴

3

2

=

k

- 3 2

，即k=-

3 3

4

，
則該反比例函數解析式為y=

- 3 3 4

x

，即y=-

3 3

4x

．

點評：此題考查了切線的性質，三角形外角的性質，勾股定理，銳角三角函數定義，以及利用待定系數法求反比例函數的解析式，已知切線，常常連接圓心與切點，由切線性質得垂直，利用直角三角形的性質來解決問題．