Question

（2011•自貢）如圖，在△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=120°，將△ABC繞點B順時針旋轉30°得△A₁BC₁．A₁B交AC于點E，A₁C₁分別交AC，BC于點D，F．
（1）試判斷四邊形BC₁DA的形狀，并說明理由；
（2）求ED的長．

Answer 1

分析：（1）先根據等腰三角形兩底角相等以及三角形內角和定理求出∠A₁=∠A=30°，再根據旋轉角為30°得到∠ABA₁=30°，從而得到∠A₁=∠ABA₁，然后根據內錯角相等，兩直線平行可得A₁C₁∥AB，同理AC∥BC₁，最后根據平行四邊形的定義以及菱形的定義即可證明；
（2）過點E作EG⊥AB于點G，根據等腰三角形三線合一的性質可得AG=

1

2

AB=

1

2

，再利用銳角三角形函數求出AE的長度，然后根據ED=AD-AE代入數據進行計算即可求解．

解答：解：（1）四邊形BC₁DA是菱形．理由如下：
∵∠ABC=120°，AB=BC，
∴∠A=

1

2

（180°-120°）=30°，
由題意可知∠A₁=∠A=30°，
∵旋轉角為30°
∴∠ABA₁=30，
∴∠A₁=∠ABA₁，
∴A₁C₁∥AB，
同理AC∥BC₁，
∴四邊形BC₁DA是平行四邊形，
∵AB=BC₁，
∴四邊形BC₁DA是菱形；

（2）過點E作EG⊥AB于點G，
∵∠A=∠ABE=30°，AB=1，
∴AG=GB=

1

2

，
∵cos∠A=

AG

AE

，AE=

AG

cosA

=

1 2

cos30°

=

3

3

，
∴ED=AD-AE=1-

3

3

．

點評：本題考查了旋轉變換的性質，等角對等邊的性質，平行四邊形的判定，菱形的判定，等腰三角形的性質以及銳角三角形函數值，經過角度的計算得到相等的角是解題的關鍵．