Question

【題目】已知：如圖1，等邊△OAB的邊長為3，另一等腰△OCA與△OAB有公共邊OA，且OC=AC，∠C=120°．現有兩動點P、Q分別從B、O兩點同時出發，點P以每秒3個單位的速度沿BO向點O運動，點Q以每秒1個單位的速度沿OC向點C運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨即停止運動．請回答下列問題：

（1）在運動過程中，△OPQ的面積記為S，請用含有時間t的式子表示S．

（2）在等邊△OAB的邊上（點A除外），是否存在點D，使得△OCD為等腰三角形？如果存在，這樣的點D共有 個．

（3）如圖2，現有∠MCN=60°，其兩邊分別與OB、AB交于點M、N，連接MN．將∠MCN繞著點C旋轉，使得M、N始終在邊OB和邊AB上．試判斷在這一過程中，△BMN的周長是否發生變化？若沒有變化，請求出其周長；若發生變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）S=﹣t2+t；（2）4；（3）△BMN的周長不發生變化，理由見解析

【解析】

試題分析：（1）根據題意分別表示出QO，OP的長，進而得出S與t的關系式；

（2）如果△OCD為等腰三角形，那么分D在OA邊或者OB邊上或AB邊上三種情形．每一種情形，都有可能O為頂點，C為頂點，D為頂點，分別討論，得出答案；

（3）如果延長BA至點F，使AF=OM，連接CF，則由SAS可證△MOC≌△FAC，得出MC=CF，再由SAS證出△MCN≌△FCN，得出MN=NF，進而求出△BMN的周長．

解：（1）如圖1，∵OC=AC，∠ACO=120°，

∴∠AOC=∠OAC=30°．

∴∠POQ=90°，

∵OQ=t，OP=3﹣3t．

∴S△OPQ=OQ×OP=t×（3﹣3t）=﹣t2+t，

即S=﹣t2+t；

（2）如圖2，（i）當D點在OA上，

①以D為頂點，D1C=OD1，

②以O為頂點，OD2=OC，

（ii）當D點在OB上，

由于∠BOC=90°，因此不存在以C或D為頂點的等腰三角形，

以O為頂點時，OD3=OC．

（iii）當D點在AB上時，

此時OD的最短距離為OD⊥AB時，此時OD≠OC，不存在以O為頂點的等腰三角形；

當以C為頂點時，D點和A點重合，

當以D為頂點時，OD4=CD4，

綜上所述，這樣的點D共有4個；

故答案為：4；

（3）△BMN的周長不發生變化．理由如下：

延長BA至點F，使AF=OM，連接CF．（如圖3）

又∵∠MOC=∠FAC=90°，OC=AC，

在△MOC和△FAC中

，

∴△MOC≌△FAC（SAS），

∴MC=CF，∠MCO=∠FCA．

∴∠FCN=∠FCA+∠NCA=∠MCO+∠NCA=∠OCA﹣∠MCN=60°，

∴∠FCN=∠MCN．

在△MCN和△FCN中，

，

∴△MCN≌△FCN（SAS），

∴MN=NF．

∴BM+MN+BN=BM+NF+BN=BO﹣OM+BA+AF=BA+BO=6．

∴△BMN的周長不變，其周長為6．