Question

【題目】在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，D為邊AC的中點.

（1）如圖1，過點D作DE⊥BC，垂足為點E，求線段CE的長；

（2）連接BD，作線段BD的垂直平分線分別交邊BC、BD、AB于點P、O、Q．

①如圖2，當∠BAC＝90°時，求BP的長；

②如圖3，設tan∠ABC＝x，BP＝y，求y與x之間的函數表達式和tan∠ABC的最大值．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）①；② ；tan∠ABC有最大值為

【解析】

（1）過點A作AH⊥BC交BC于點H，利用等腰三角形三線合一和平行線分線段成比例定理即可解決問題；

（2）①過點D作DH⊥BC交BC于點H，設，在 中利用勾股定理即可求解；

②過點D作DH⊥BC交BC于點H，同樣在在 中利用勾股定理即可表示出y與x之間的函數表達式，再根據當y有最大值時，x也有最大值，即tan∠ABC有最大值即可求解.

（1）如圖，過點A作AH⊥BC交BC于點H

∵, BC＝8

∴

∵

∴

∵D為邊AC的中點，

∴E為邊CH的中點

∴

（2）①過點D作DH⊥BC交BC于點H

∵PQ垂直平分BD

∴BP=PD

∵∠BAC＝90°，AB＝AC

∴

∴

設，則，

在 中，

解得 ，即

②過點D作DH⊥BC交BC于點H

∵PQ垂直平分BD

∴BP=PD

∵，tan∠ABC＝tan∠ACB= x，BP＝y

∴

在 中，

∴

由得，

∴當y有最大值時，x也有最大值，即tan∠ABC有最大值.

∴當時，

解得 或（舍去）

∴tan∠ABC有最大值為