Question

【題目】如圖，∠ABC＝90°，點D、E分別在BC、AC上，AD⊥DE，且AD＝DE，點F是AE的中點，FD與AB的延長線相交于點M，連接MC．

（1）MF與AC的位置關系是：______．

（2）求證：CF＝MF．

（3）猜想：AD與MC的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）MF⊥AC；（2）證明見解析；（3）AD⊥MC．

【解析】

（1）只要證明△ADE是等腰直角三角形，即可解決問題；
（2）根據等腰直角三角形的性質，得出DF⊥AE，DF=AF=EF，再證明△DFC≌△AFM，得出FC=FM；
（3）依據∠DFC=90°，DF=EF，∠FDE=∠FMC=45°，即可得到△DEF、△CFM是等腰直角三角形，進而證明DE∥MC，即可得出結論．

（1）∵AD⊥DE，AD=DE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∵AF=EF，
∴DF⊥AE，即MF⊥AC．
故答案為：MF⊥AC．
（2）∵AD⊥DE，且AD=DE，F是AE的中點，
∴DF⊥AE，DF=AF=EF，
∴∠AFM=90°，
∴∠FAM+∠AMF=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠FAM+∠DCF=90°，
∴∠DCF=∠AMF，
在△DFC和△AFM中，
，
∴△DFC≌△AFM（AAS），
∴FC=FM；
（3）AD⊥MC．
理由：由（2）得：∠DFC=90°，DF=EF，FM=FC，
∴△DEF、△CFM是等腰直角三角形，
∴∠FDE=∠FMC=45°，
∴DE∥MC，
∵AD⊥DE，
∴AD⊥MC．