Question

【題目】操作：將一把三角尺放在邊長為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點P在對角線AC上滑動，直角的一邊始終經過點B，另一邊與射線DC相交于點Q，設A、P兩點間的距離為x．

探究：

（1）當點Q在邊CD上時，線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關系？試證明你觀察到的結論；

（2）當點Q在邊CD上時，設四邊形PBCQ的面積為y，求y與x之間的函數關系式，并寫出x的取值范圍；（3）當點P在線段AC上滑動時，△PCQ是否能成為等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成為等腰三角形的點Q的位置，并求出相應x的值；如果不可能，試說明理由．

Answer 1

【答案】（1）PQ=PB，證明過程見解析；（2）y=（0≤x＜）；（3）x＝0或1.

【解析】

試題分析：（1）過點P作MN∥BC，分別交AB、CD于點M、N，則四邊形AMND和四邊形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰三角形，得出NP=NC=MB，從而證明△QNP≌△PMB，從而得出答案；（2）設AP=x，則M＝MP＝NQ＝DN＝x，BM＝PN＝CN＝1－x，根據題意得出△PBC和△PCQ的面積，然后得出y與x的函數關系式；（3）本題分三種情況進行討論，即①當點Q在邊DC上；②當點Q在邊DC的延長線上；③當點Q與C點重合.

試題解析：（1）過點P作MN∥BC，分別交AB、CD于點M、N，則四邊形AMND和四邊形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰三角形（如圖1），∴NP＝NC＝MB．

∵∠BPQ＝90°∴∠QPN＋∠BPM＝90°，而∠BPM＋∠PBM＝90°∴∠QPN＝∠PBM．

又∵∠QNP＝∠PMB＝90°∴△QNP≌△PMB（ASA），∴PQ＝PB．

（2）由（1）知△QNP≌△PMB，得NQ＝MP．

設AP＝x，∴AM＝MP＝NQ＝DN＝x，BM＝PN＝CN＝1－x

∴CQ＝CD－DQ＝1－2×x＝1－x

∴S△PBC＝BCBM＝×1×（1－x）＝－x，

S△PCQ＝CQPN＝×（1－x）（1－x）＝，

∴S四邊形PBCQ＝S△PBC＋S△PCQ＝， 即y＝（0≤x＜）．

（3）△PCQ可能成為等腰三角形．

①當點Q在邊DC上，由得：

解得x1＝0，x2＝（舍去）；

②當點Q在邊DC的延長線上（如圖2），由PC＝CQ得：－x＝x－1，

解得x＝1．

③當點Q與C點重合，△PCQ不存在．

綜上所述，x＝0或1時，△PCQ為等腰三角形