Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3．點E是CD上的動點，以AE為直徑的⊙O與AB交于點F，過點F作FG⊥BE于點G．

（1）若E是CD的中點時，證明：FG是⊙O的切線

（2）試探究：BE能否與⊙O相切？若能，求出此時DE的長；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）點E不存在，BE不能與⊙O相切，理由見解析

【解析】

（1）要證明FG是⊙O的切線只要證明OF⊥FG即可；
（2）先假設BE能與⊙O相切，則AE⊥BE，即∠AEB=90°．設DE的長為x，然后用x表示出CE的長，根據勾股定理可得出一個關于x的一元二次方程，若BE能與⊙O相切，那么方程的解即為DE的長；若方程無解，則說明BE不可能與⊙O相切．

（1）連接OF、EF；

∵AE是⊙O的直徑，AF⊥EF，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠DAB＝∠D＝90°，AB＝CD，

∴四邊形ADEF是矩形，

∴AF＝DE，

∴EC＝BF，

∵E是CD的中點，

∴F是AB的中點，

∴OF∥BE，

∵FG⊥BE，

∴OF⊥FG，

∴FG為⊙O的切線．

（2）若BE能與⊙O相切，因AE是⊙O的直徑，則AE⊥BE，∠AEB＝90°．

設DE＝x，則EC＝5﹣x．

由勾股定理得：AE2+EB2＝AB2，

即（9+x2）+[（5﹣x）2+9]＝25，

整理得x2﹣5x+9＝0，

∵b2﹣4ac＝25﹣36＝﹣11＜0，

∴該方程無實數根，

∴點E不存在，BE不能與⊙O相切．