Question

【題目】（2017寧夏）在邊長為2的等邊三角形ABC中，P是BC邊上任意一點，過點 P分別作 PM⊥A B，PN⊥AC，M、N分別為垂足．

（1）求證：不論點P在BC邊的何處時都有PM+PN的長恰好等于三角形ABC一邊上的高；

（2）當BP的長為何值時，四邊形AMPN的面積最大，并求出最大值．

Answer 1

【答案】【（1）證明見解析；（2）當BP=1時，四邊形AMPN的面積最大，最大值是．

【解析】

試題（1）連接AP，過C作CD⊥AB于D，根據等邊三角形的性質得到AB=AC，根據三角形的面積公式列方程即可得到結論；

（2）設BP=x，則CP=2﹣x，由△ABC是等邊三角形，得到∠B=∠C=60°，解直角三角形得到BM=x，PM=x，CN=（2﹣x），PN=（2﹣x），根據二次函數的性質即可得到結論．

試題解析：（1）連接AP，過C作CD⊥AB于D，

∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∵S△ABC=S△ABP+S△ACP，∴ ABCD=ABPM+ACPN，∴PM+PN=CD，即不論點P在BC邊的何處時都有PM+PN的長恰好等于三角形ABC一邊上的高；

（2）設BP=x，則CP=2﹣x，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C=60°，∵PM⊥AB，PN⊥AC，∴BM=x，PM=x，CN=（2﹣x），PN=（2﹣x），∴四邊形AMPN的面積=×（2﹣x）x+×[2﹣（2﹣x）] （2﹣x）= =，∴當BP=1時，四邊形AMPN的面積最大，最大值是．