Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知 A（-2,0），B（0，m）兩點，且線段AB= 2 ，以 AB 為邊在第二象限內作正方形 ABCD。

（1）求點 B 的坐標

（2）在 x 軸上是否存在點 Q，使△QAB 是以 AB 為腰的等腰三角形？若存在，請直接寫出點 Q 的坐標，若不存在，請說明理由；

（3）如果在坐標平面內有一點 P（a，3），使得△ABP 的面積與正方形 ABCD 的面 積相等，求 a 的值。

Answer 1

【答案】(1)（0，4）(2)存在，Q點坐標為（，0）或（，0）或（2，0）

(3) 或

【解析】

（1）因為三角形ABO為直角三角形，所以可依據勾股定理求出OB的長度，即可求出點B的坐標.

（2）當AB=AQ時，三角形QAB為等腰三角形，當BQ=AB時，三角形QAB為等腰三角形，再根據AB的長度分別求出點Q的坐標即可.

（3）由P（a，3）可知，p點在y=3直線上運動，畫出簡圖，當a＞0和當a＜0時，分兩種情況進行分析.

(1)由題意知AB=，AO=2，根據勾股定理得

,所以點B的坐標為（0，4）

（2）設Q點坐標為（m，0）

當AB=AQ時，即AQ==，解得：m=或

則此時Q點坐標為（，0）（，0）

當BQ=AB時，BQ=，解得：m=2或-2

而m=-2時與A點重合，則m=2.

則Q的坐標為（2，0）

（3）①

由題意可知p點坐標為（a，3），則p點再y=3這條直線上，連接BP，AP，y=3與y軸的交點為H，與直線AB的交點為G，當a大于0時，如圖所示：

此時三角形APB的面積可以由三角形PBG與三角形PGA的面積和求得.

設AB直線的函數解析式為y=kx+b，代入點A(-2，0)，B(0,4)得：

則G點的縱坐標與P點的縱坐標相等，則把y=3代入，得x=

則此時G點坐標為（，3），則PG=a-=

則三角形PBG與三角形PGA的面積和為：GP×BH×+ GP×OH×= GP(BH+OH)= GP×BO=

即

解得：.

②

當a小于0時，如圖所示：

同理①得：PG=-a

則此時有：GP(BH+OH)= GP×BO=

解得：

則綜上所述：或