Question

【題目】如圖，△ABC中，D是BC邊上一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交CE的延長線于點F，且AF＝BD，連接BF．

（1）求證：△AEF≌△DEC；

（2）若AB＝AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）：若AB＝AC，則四邊形AFBD是矩形，理由詳見解析.

【解析】

（1）根據兩直線平行，內錯角相等求出∠AFE=∠DCE，∠FAE=∠CDE，然后利用“角角邊”證明△AEF和△DEC全等；
（2）由（1）知AF平行等于BD，易證四邊形AFBD是平行四邊形，而AB=AC，AD是中線，利用等腰三角形三線合一定理，可證AD⊥BC，即∠ADB=90°，那么可證四邊形AFBD是矩形．

（1）證明：∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE，

∵點E為AD的中點，

∴AE＝DE，

在△AEF和△DEC中，

∴△AEF≌△DEC（AAS）；

（2）解：若AB＝AC，則四邊形AFBD是矩形．理由如下：

∵AF∥BD，AF＝BD，

∴四邊形AFBD是平行四邊形，

∵△AEF≌△DEC，

∴AF＝CD，

∵AF＝BD，

∴CD＝BD；

∵AB＝AC，BD＝CD，

∴∠ADB＝90°，

∴平行四邊形AFBD是矩形．