Question

【題目】如圖①，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝100°，D是BC的中點(diǎn)．

小明對(duì)圖①進(jìn)行了如下探究：在線段AD上任取一點(diǎn)P，連接PB．將線段PB繞點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)80°，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E，連接BE，得到△BPE．小明發(fā)現(xiàn)，隨著點(diǎn)P在線段AD上位置的變化，點(diǎn)E的位置也在變化，點(diǎn)E可能在直線AD的左側(cè)，也可能在直線AD上，還可能在直線AD的右側(cè)．

請(qǐng)你幫助小明繼續(xù)探究，并解答下列問題：

（1）當(dāng)點(diǎn)E在直線AD上時(shí)，如圖②所示．

①∠BEP＝　 　°；

②連接CE，直線CE與直線AB的位置關(guān)系是　 　．

（2）請(qǐng)?jiān)趫D③中畫出△BPE，使點(diǎn)E在直線AD的右側(cè)，連接CE．試判斷直線CE與直線AB的位置關(guān)系，并說明理由．

（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求AE的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①50°；②AB∥EC；（2）詳見解析；（3）3.

【解析】

（1）①根據(jù)∠BPE=80°，PB=PE即可求出答案；②根據(jù)“AB＝AC，∠BAC＝100°”，可以得到AE垂直平分線段BC，從而得到EB＝EC，進(jìn)而得到∠ECB＝∠EBC，即可證得∠ABC＝∠ECB，從而得到答案；

（2）以P為圓心，PB為半徑作⊙P，得到PB＝PC，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角是圓心的一半求出∠BCE的度數(shù)從而得到答案；

（3）作AH⊥CE于H，點(diǎn)E在射線CE上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)A重合時(shí)，AE取最小值，故而得到答案.

解：（1）①如圖②中，

∵∠BPE＝80°，PB＝PE，

∴∠PEB＝∠PBE＝50°，

②結(jié)論：AB∥EC．

理由：∵AB＝AC，BD＝DC，

∴AD⊥BC，

∴∠BDE＝90°，

∴∠EBD＝90°﹣50°＝40°，

∵AE垂直平分線段BC，

∴EB＝EC，

∴∠ECB＝∠EBC＝40°，

∵AB＝AC，∠BAC＝100°，

∴∠ABC＝∠ACB＝40°，

∴∠ABC＝∠ECB，

∴AB∥EC．

故答案為50，AB∥EC．

（2）如圖③中，以P為圓心，PB為半徑作⊙P．

∵AD垂直平分線段BC，

∴PB＝PC，

∴∠BCE＝∠BPE＝40°，

∵∠ABC＝40°，

∴AB∥EC．

（3）如圖④中，作AH⊥CE于H，

∵點(diǎn)E在射線CE上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)，

∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)A重合時(shí)，AE的值最小，此時(shí)AE的最小值＝AB＝3．