Question

【題目】如圖一，矩形ABCD中，AB=5cm，BC=4cm，E是BC上一點，將△CDE沿DE折疊，使點C落在AB上一點F處，連結DF、EF．
（1）求BE的長度；
（2）設點P、H、G分別在線段DE、BC、BA上，當BP=CP且四邊形BGPH為矩形時，請說明矩形BGPH的長寬比為2：1，并求PE的長．（如圖二）

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖一，

在矩形ABCD中，AD=BC=4，CD=AB=5，∠A=90°，

由折疊可得：DF=DC=5，CE=CF，

∴直角三角形ADF中，AF= =3，

∴BF=5=3=2，

設BE=x，則CE=FE=4﹣x，

在Rt△BEF中，22+x2=（4﹣x）2，

解得x=1.5，

即BE=1.5

（2）解：如圖二，當BP=CP，且四邊形BGPH為矩形時，點P在BC的垂直平分線上，

即PH垂直平分BC，

∴BH=CH= BC=2，①

又∵BE=1.5，

∴EH=0.5，EC=2.5

∵PH∥DC，

∴ = ，即 =

解得PH=1，②

∴由①②得：矩形BGPH的長寬比為2：1，

在Rt△PEH中，PE= = =

【解析】（1）先根據矩形性質以及折疊變換，運用勾股定理求得AF、BF的長，再設BE=x，在Rt△BEF中運用勾股定理列出方程，求得x的值．（2）先判斷PH垂直平分BC，求得矩形中BH的長，再根據平行線分線段成比例定理，求得PH的長，進而得出矩形BGPH的長寬比為2：1，最后根據勾股定理求得PE的長．
【考點精析】利用勾股定理的概念和矩形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等．