Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，∠DAB的角平分線交邊CD于點E．點P在射線AE上以每秒個單位長度的速度沿射線AE方向從點A開始運動；過點P作PQ⊥AB于點Q，以PQ為邊向右作平行四邊形，點N在射線AE上，且AP=PN．設P點運動時間為t秒．

（1）PQ= （用含t的代數式表示）．

（2）當點M落在BC邊上時，求t的值．

（3）設平行四邊形PQMN與矩形ABCD重合部分面積為S，當點P在線段AE上運動時，求S與t 的函數關系式．

（4）直接寫出在點P、Q運動的過程中，整個圖形中形成的三角形存在全等三角形時t的值（不添加任何輔助線）．

Answer 1

【答案】（1）t；（2）2；（3）當0≤t≤時，；當≤2時，；當≤3時，；（4）2或3或

【解析】

（1）判斷出ΔAPQ是等腰三角形即可得出結結論；

（2）由AP=PN判斷出Q為AB的中點，進而求得AQ=2，即可得出結論；

（3）分三種情況討論：①當0﹤t≤時，重合部分是平行四邊形PQMN；②當≤2時，重合部分是五邊形PQMGE，③當≤3時，重合部分是五邊形PQGCE，分別求解即可；

（4）也是分三種情況討論：①當點Q是AB的中點時，ΔAPQ≌ΔQMB；②當點P與點E重合時，ΔAPQ≌ΔEAD；③當ΔPEK≌ΔQGB時，分別求解即可.

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD=90，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=45，

∵PQ⊥AB，

∴ΔAPQ是等腰直角三角形，

由運動知，AP=t，

∴PQ= t；

（2）如圖2，當點M落在BC上時，

∵四邊形PQMN是平行四邊形，

∴PQ∥MN，即PQ∥BN,

∵AP=PN，

∴AQ=QB=2．

∵∠NAB =45°，

∴PQ=AQ=2．

∴t=2

（3）①當0≤t≤時，如圖4，重合部分是平行四邊形PQMN，；

②當≤2時，如圖5，重合部分是五邊形PQMGE，

；

③當≤3時，如圖6，重合部分是五邊形PQGCE，

=，

綜上，當0≤t≤時，；當≤2時，；當≤3時，；．

（4）①如圖7，當點Q是AB的中點時，ΔAPQ≌ΔQMB，此時；

②如圖8，當點P與點E重合時，ΔAPQ≌ΔEAD，，

③如圖9，當ΔPEK≌ΔQGB時，由EK=BQ得：t-3=4-t，解得．

綜上，t的值為2或3或．