Question

如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB =90°，CD⊥AB與點(diǎn)D，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．
(1)求證：FD²= FB·FC；
(2)若G是BC的中點(diǎn)，連接GD與EF垂直嗎？并說(shuō)明理由．

Answer 1

證明：(1)∵E是Rt△ACD斜邊中點(diǎn)，
∴DE=AE，
∴∠A=∠AED，
∴∠1=∠AED，∠FBD=∠ACB+∠A=90°+ ∠BDF，
∠FBD=∠ACB+ ∠A =90°+ ∠A，
∴∠FDC= ∠FBD，
∴∠F是公共角，
∴△FBD∽△FDC，

∴；
(2) GD⊥EF，理由如下
∵DG是Rt△CDB斜邊上的中線，
∴DC=GC，
∴∠CDG=∠GCD，
由(1)得∠GCD =∠BDF，∠CDC= ∠BDF
∴∠CDC+∠GDB=90°，
∴ ∠CDB+ ∠BDF =90°，
∴DG⊥EF．