Question

【題目】已知：如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A點，與y軸交于C點，且A（1，0）、B（3，0），點D是拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式

（2）在y軸上是否存在M點，使得△MAC是以AC為腰的等腰三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）點P為拋物線上的動點，且在對稱軸右側，若△ADP面積為3，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+4x﹣3；（2）在y軸上存在點M，點M的坐標為(0,3)，(0,)或(0,)，（3）P（4，﹣3）．

【解析】

（1）將A（1，0），B（3，0）代入拋物線的解析式中即可求出拋物線的解析式；

（2）根據A、C的坐標求出AC的長度，再根據等腰三角形的腰分類討論即可；

（3）過點P作y軸的平行線，與x軸交于點N，與AD的延長線交于點Q，過D作DH⊥PQ，先利用待定系數法求出直線AD的關系式，設P（x，﹣x2+4x﹣3），則Q（x，x﹣1），N（x，0），H（x，1），即可表示出PQ，AN和BN的長，再根據S△ADP＝S△APQ﹣S△PQD列方程并解方程即可.

（1）將A（1，0），B（3，0）代入拋物線y＝ax2+bx﹣3中，解得：，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+4x﹣3；

（2）當x=0時，y=﹣3

故C點坐標為（0，﹣3）

∵A（1，0），

∴OA＝1，OC＝3

∴，

等腰△MAC中，點M在y軸上，AC是腰，分兩種情況：

①當AC＝AM時，此時OA垂直平分MC

∴OM＝OC＝3

∴M（0，3），

②當AC＝CM時，有

設M（0，y）

則

∴

∴，

綜上：在y軸上存在點M，點M的坐標為或，

（3）如圖，過點P作y軸的平行線，與x軸交于點N，與AD的延長線交于點Q，過D作DH⊥PQ，

當時，

故D點坐標為：（2，1），

設直線AD的解析式為y＝kx+n

將A（1，0），D（2，1）代入，解得 ，

∴直線AD的解析式為y＝x﹣1；

設P（x，﹣x2+4x﹣3），則Q（x，x﹣1），N（x，0），H（x，1）

∴PQ＝（x﹣1）﹣（﹣x2+4x﹣3）＝x2﹣3x+2

∴S△ADP＝S△APQ﹣S△PQD＝＝＝＝＝，

∵S△ADP＝3

∴

即x2﹣3x﹣4＝0

解得：x1＝4，x2＝﹣1（舍）

將x＝4代入拋物線解析式，y＝﹣3

∴P（4，﹣3）．