Question

【題目】如圖，直線y=-2x+2與拋物線y=ax2+bx（a＜0）相交于點A，B．雙曲線y=過A、B兩點，已知點B的坐標為（2，-2），點A在第二象限內，且tan∠Aoy=．

（1）求雙曲線和拋物線的解析式；

（2）計算△AOB的面積；

（3）在拋物線上是否存在點P，使△AOP的面積等于△AOB的面積？若存在，請你寫出點P的坐標；若不存在，請你說明理由．

Answer 1

【答案】（1）雙曲線解析式為y=-，拋物線解析式為y=x2-3x，（2）3，（3）P（-3，18）．

【解析】

試題分析：（1）先用待定系數法求出雙曲線解析式，再用待定系數法求出拋物線解析式；

（2）先求出△AOB的面積，在求出△BOC的面積即可；

（3）先求出直線PB解析式為y=-4x+6，和拋物線解析式為y=x2-3x，聯立方程組求解即可．

試題解析：（1）∵雙曲線經過點B，

∴k=-4，

∴雙曲線解析式為y=-，

∵tan∠AOy=，

設A（-m，4m），

∵點A 過雙曲線，

∴m=1或m=-1（舍），

∴A（-1，4）；

∵拋物線過點A，B，

∴，

∴，

∴拋物線解析式為y=x2-3x，

（2）設直線y=-2x+2交于x軸于C，令y=0，

∴x=1，

∴OC=1，

∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×1×4+×1×2=3，

（3）存在點P（-3，18），

理由：假設存在點P，使△AOP的面積等于△AOB的面積；

∴點P到直線OA的距離等于點B到直線OA的距離，

∴PB∥AO，

∵直線AO解析式為y=-4x，

∴設直線PB的解析式為y=-4x+f，

∵直線PB過點B，

∴-2=-4×2+f，

∴f=6，

∴直線PB解析式為y=-4x+6，

∴，

∴或（舍），

P（-3，18）．