Question

【題目】已知拋物線y=x2+bx﹣3（b是常數）經過點A（﹣1，0）．

（1）求該拋物線的解析式和頂點坐標；

（2）P（m，t）為拋物線上的一個動點，P關于原點的對稱點為P'．

① 當點P' 落在該拋物線上時，求m的值；

② 當點P' 落在第二象限內，P'A2取得最小值時，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）（1，-4）（2）

【解析】試題分析：

（1）把點A（-1，0）代入拋物線y=x2+bx﹣3解得b的值，即可得到拋物線的解析式；把所得解析式配方化為“頂點式”即可得到拋物線的頂點坐標；

（2）①由點P的坐標（m，t）可得點P′的坐標為（-m，-t），把兩點的坐標分別代入（1）中所求拋物線的解析式可得：t=m2﹣2m﹣3，t=﹣m2﹣2m+3，由此可得m2﹣2m﹣3=﹣m2﹣2m+3，解此方程即可求得m的值；

②由P（m，t）在拋物線上可得m2﹣2m=t+3，結合A（﹣1，0），P′（﹣m，﹣t）可得：P′A2=（﹣m+1）2+（﹣t）2=m2﹣2m+1+t2=t2+t+4=（t+）2+；由P′（﹣m，﹣t）在第二象限，拋物線頂點坐標為（1，-4）可求得﹣4≤t＜0，由此可得當t=﹣時，P′A2有最小值，把t=﹣代入 t=﹣m2﹣2m+3解方程即可求得此時m的值.

試題解析：

（1）∵拋物線y=x2+bx﹣3經過點A（﹣1，0），

∴0=1﹣b﹣3，解得b=﹣2，

∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3，

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴拋物線頂點坐標為（1，﹣4）；

（2）①由P（m，t）在拋物線上可得t=m2﹣2m﹣3，

∵點P′與P關于原點對稱，

∴P′（﹣m，﹣t），

∵點P′落在拋物線上，

∴﹣t=（﹣m）2﹣2（﹣m）﹣3，即t=﹣m2﹣2m+3，

∴m2﹣2m﹣3=﹣m2﹣2m+3，解得m=或m=﹣；

②由題意可知P′（﹣m，﹣t）在第二象限，

∴﹣m＜0，﹣t＞0，即m＞0，t＜0，

∵拋物線的頂點坐標為（1，﹣4），

∴﹣4≤t＜0，

∵P在拋物線上，

∴t=m2﹣2m﹣3，

∴m2﹣2m=t+3，

∵A（﹣1，0），P′（﹣m，﹣t），

∴P′A2=（﹣m+1）2+（﹣t）2=m2﹣2m+1+t2=t2+t+4=（t+）2+；

∴當t=﹣時，P′A2有最小值，

∴﹣=m2﹣2m﹣3，解得m=或m=，

∵m＞0，

∴m=不合題意，舍去，

∴m的值為．