Question

【題目】綜合與探究：

如圖1，的直角頂點在坐標原點，點在軸正半軸上，點在軸正半軸上，，，將線段繞點順時針旋轉得到線段，過點作軸于點，拋物線經過點，與軸交于點，直線與軸交于點．

（1）求點的坐標及拋物線的表達式；

（2）如圖2，已知點是線段上的一個動點，過點作的垂線交拋物線于點（點在第一象限），設點的橫坐標為．

①點的縱坐標用含的代數式表示為________；

②如圖3，當直線經過點時，求點的坐標，判斷四邊形的形狀并證明結論；

③在②的前提下，連接，點是坐標平面內的點，若以，，為頂點的三角形與全等，請直接寫出點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）點的坐標為，；（2）①；②點F的坐標為，四邊形為正方形，證明見解析；③點的坐標為或或．

【解析】

（1）根據已知條件與旋轉的性質證明，根據全等三角形的性質得出點C的坐標，結合點E的坐標，根據待定系數法求出拋物線的表達式；

（2）①設直線AC的表達式為，由點A、C的坐標求出直線AC的表達式，進而得解；

②過點作軸于點，過點作軸，垂足為點，的延長線與的延長線交于點，根據等腰三角形三線合一得出，結合①由平行線分線段成比例得出點G的坐標，根據待定系數法求出直線的表達式，結合拋物線的表達式求出點F；利用勾股定理求出，結合可得出結論；

③根據直線AC的表達式求出點H的坐標，設點N坐標為，根據勾股定理分別求出，，，，然后分兩種情況考慮：若△FHC≌△FHN，則FN＝FC，NH＝CH，若△FHC≌△HFN，則FN＝CH，NH＝FC，分別列式求解即可．

解：（1），，

點的坐標為，點的坐標為，

線段繞點順時針旋轉得到線段，

，，

，

在中，，

，

軸于點，

，

．

，

，

，，

，

點的坐標為，

∵拋物線的圖象經過點，與軸交于點，

，

解得，，

∴拋物線的表達式為；

（2）①設直線AC的表達式為，

∵直線AC經過點，，

∴，

解得，，即，

∴點的縱坐標用含的代數式表示為：，

故答案為：．

②過點作軸于點，

，，

，，

，

，

，

，

，

，，

點為，

設直線的表達式為，將和代入表達式得，，

，即表達式為，

點為直線和拋物線的交點，

得，

，（舍去），

點的坐標為，

過點作軸，垂足為點，的延長線與的延長線交于點，

，，，，

在中和中，根據勾股定理，得，

同理可得，

，

四邊形為菱形，

，

菱形為正方形；

③∵直線AC：與x軸交于點H，

∴，

解得，x＝12，

∴，

∴，，

設點N坐標為，

∴，，

第一種情況：若△FHC≌△FHN，則FN＝FC，NH＝CH，

∴，

解得，，（即點C），

∴；

第二種情況：若△FHC≌△HFN，則FN＝CH，NH＝FC，

∴，

解得，，，

∴或，

綜上所述，以F，H，N為頂點的三角形與△FHC全等時，點N坐標為或或．