【題目】如圖所示，某海盜船以20海里/小時的速度在某海域執行巡航任務，當海監船由西向東航行至A處使，測得島嶼P恰好在其正北方向，繼續向東航行1小時到達B處，測得島嶼P在其北偏西30°方向，保持航向不變又航行2小時到達C處，求出此時海監船與島嶼P之間的距離（即PC的長，結果精確到0.1）（參考數據：
≈1.732，
≈1.414）
科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】（1）問題發現
如圖1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，連接AC，BD交于點M．填空：
①
的值為 ；
②∠AMB的度數為 ．
（2）類比探究
如圖2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，連接AC交BD的延長線于點M．請判斷的值及∠AMB的度數，并說明理由；
（3）拓展延伸
在（2）的條件下，將△OCD繞點O在平面內旋轉，AC，BD所在直線交于點M，若OD=1，OB=
，請直接寫出當點C與點M重合時AC的長．
【答案】（1）①1；②40°；（2）
，90°；（3）AC的長為3或2．
【解析】
（1）①證明△COA≌△DOB（SAS），得AC=BD，比值為1；
②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，根據三角形的內角和定理得：∠AMB=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-140°=40°；
（2）根據兩邊的比相等且夾角相等可得△AOC∽△BOD，則
，由全等三角形的性質得∠AMB的度數；
（3）正確畫圖形，當點C與點M重合時，有兩種情況：如圖3和4，同理可得：△AOC∽△BOD，則∠AMB=90°，
，可得AC的長．
（1）問題發現：
①如圖1，
∵∠AOB=∠COD=40°，
∴∠COA=∠DOB，
∵OC=OD，OA=OB，
∴△COA≌△DOB（SAS），
∴AC=BD，
∴
②∵△COA≌△DOB，
∴∠CAO=∠DBO，
∵∠AOB=40°，
∴∠OAB+∠ABO=140°，
在△AMB中，∠AMB=180°-（∠CAO+∠OAB+∠ABD）=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-140°=40°，
（2）類比探究：
如圖2，
，∠AMB=90°，理由是：
Rt△COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°，
∴
，
同理得：
，
∴
，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴ ，∠CAO=∠DBO，
在△AMB中，∠AMB=180°-（∠MAB+∠ABM）=180°-（∠OAB+∠ABM+∠DBO）=90°；
（3）拓展延伸：
①點C與點M重合時，如圖3，
同理得：△AOC∽△BOD，
∴∠AMB=90°，，
設BD=x，則AC=
x，
Rt△COD中，∠OCD=30°，OD=1，
∴CD=2，BC=x-2，
Rt△AOB中，∠OAB=30°，OB=，
∴AB=2OB=2，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
(x)2+(x2)2＝(2)2，
x2-x-6=0，
（x-3）（x+2）=0，
x1=3，x2=-2，
∴AC=3；
②點C與點M重合時，如圖4，
同理得：∠AMB=90°，，
設BD=x，則AC=x，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
(x)2+（x+2）2=(2)2.
x2+x-6=0，
（x+3）（x-2）=0，
x1=-3，x2=2，
∴AC=2；.
綜上所述，AC的長為3或2．
點睛：本題是三角形的綜合題，主要考查了三角形全等和相似的性質和判定，幾何變換問題，解題的關鍵是能得出：△AOC∽△BOD，根據相似三角形的性質，并運用類比的思想解決問題，本題是一道比較好的題目．
【題型】解答題
【結束】
25
【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）經過點A（3，0），B（﹣1，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若以點A為圓心的圓與直線BC相切于點M，求切點M的坐標；
（3）若點Q在x軸上，點P在拋物線上，是否存在以點B，C，Q，P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】（本題滿分8分）
為了加強學生課外閱讀，開闊視野，某校開展了“書香校園，從我做起”的主題活動．學校隨機抽取了部分學生，對他們一周的課外閱讀時間進行調查，繪制出頻數分布表和頻數分布直方圖的一部分如下：
請根據圖表信息回答下列問題：
（1）頻數分布表中的
，
；
（2）將頻數分布直方圖補充完整；
（3）學校將每周課外閱讀時間在
小時以上的學生評為“閱讀之星”，請你估計該校
名學生中評為“閱讀之星”的有多少人？
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【題目】已知：如圖，矩形ABCD，AB＝2，BC＝4，對角線AC，BD相交于點O，點P在對角線BD上，并且A，O，P組成以OP為腰的等腰三角形，那么OP的長等于___．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】已知：如圖，二次函數y＝ax2+bx+
的圖象經過點A（2，6）和B（4，4），直線l經過點B并與x軸垂直，垂足為Q．
（1）求二次函數的表達式；
（2）如圖1，作AK⊥x軸，垂足為K，連接AO，點R是直線1上的點，如果△AOK與以O，Q，R為頂點的三角形相似，請直接寫出點R的縱坐標；
（3）如圖2，正方形CDEF的頂點C是第二象限拋物線上的點，點D，E在直線1上，以CF為底向右做等腰△CFM，直線l與CM，FM的交點分別是G，H，并且CG＝GM，FH＝HM，連接CE，與FM的交點為N，且點N的縱坐標是﹣1．
求：①tan∠DCG的值；
②點C的坐標．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，⊙O是正△ABC的外接圓，點D為圓上一點，連接AD，分別過點B和點C作AD延長線的垂線，垂足分別為點E和點F，連接BD、CD，已知EB=3，FC=2，現在有如下4個結論：①∠CDF=60°；②△EDB∽△FDC；③BC=
；④
，其中正確的結論有（ ）個
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
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【題目】某班6個合作小組的人數分別是4，6，4，5，7，8，現第4小組調出1人去第2小組，則新各組人數分別為：4，7，4，4，7，8，下列關于調配后的數據說法正確的是（ ）
A. 調配后平均數變小了B. 調配后眾數變小了
C. 調配后中位數變大了D. 調配后方差變大了
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖在平面直角坐標系中反比例函數y＝
的圖象經過點P(4，3)和點B(m，n)(其中0＜m＜4)，作BA⊥x軸于點A，連接PA、OB，過P、B兩點作直線PB，且S△AOB＝S△PAB
(1)求反比例函數的解析式；
(2)求點B的坐標．
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【題目】（11·湖州）（本小題10分）
我市水產養殖專業戶王大爺承包了30畝水塘，分別養殖甲魚和桂魚，有關成本、銷售情況如下表：
⑴2010年，王大爺養殖甲魚20畝，桂魚10畝，求王大爺這一年共收益多少萬元？（收益=銷售額－成本）
⑵2011年，王大爺繼續用這30畝水塘全部養殖甲魚和桂魚，計劃投入成本不超過70萬元。若每畝養殖的成本、銷售額與2010年相同，要獲得最大收益，他應養殖甲魚和桂魚各多少畝？
⑶已知甲魚每畝需要飼料500㎏，桂魚每畝需要飼料700㎏，根據⑵中的養殖畝數，為了節約運輸成本，實際使用的運輸車輛每次裝載飼料的總量是原計劃每次裝載總量的2倍，結果運輸養殖所需要全部飼料比原計劃減少了2次，求王大爺原定的運輸車輛每次可裝載飼料多少㎏？
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