Question

【題目】如圖，直線y=﹣ x+ 分別與x軸、y軸交于B、C兩點，點A在x軸上，∠ACB=90°，拋物線y=ax2+bx+ 經過A，B兩點．

（1）求A、B兩點的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）點M是直線BC上方拋物線上的一點，過點M作MH⊥BC于點H，作MD∥y軸交BC于點D，求△DMH周長的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線y=﹣ x+ 分別與x軸、y軸交于B、C兩點，

∴B（3，0），C（0， ），

∴OB=3，OC= ，

∴tan∠BCO= = ，

∴∠BCO=60°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACO=30°，

∴ =tan30°= ，即 = ，解得AO=1，

∴A（﹣1，0）；

（2）

解：∵拋物線y=ax2+bx+ 經過A，B兩點，

∴ ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+ x+ ；

（3）

解：∵MD∥y軸，MH⊥BC，

∴∠MDH=∠BCO=60°，則∠DMH=30°，

∴DH= DM，MH= DM，

∴△DMH的周長=DM+DH+MH=DM+ DM+ DM= DM，

∴當DM有最大值時，其周長有最大值，

∵點M是直線BC上方拋物線上的一點，

∴可設M（t，﹣ t2+ t+ ），則D（t，﹣ t+ ），

∴DM=﹣ t2+ t+ ），則D（t，﹣ t+ ），

∴DM=﹣ t2+ t+ ﹣（﹣ t+ ）=﹣ t2+ t=﹣ （t﹣ ）2+ ，

∴當t= 時，DM有最大值，最大值為 ，

此時 DM= × = ，

即△DMH周長的最大值為 ．

【解析】（1）由直線解析式可求得B、C坐標，在Rt△BOC中由三角函數定義可求得∠OCB=60°，則在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函數的定義可求得OA，則可求得A點坐標；（2）由A、B兩點坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；（3）由平行線的性質可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中利用三角函數的定義可得到DH、MH與DM的關系，可設出M點的坐標，則可表示出DM的長，從而可表示出△DMH的周長，利用二次函數的性質可求得其最大值．
【考點精析】通過靈活運用二次函數的最值和平行線的性質，掌握如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補即可以解答此題．