Question

如圖甲,正方形ABCD的邊長為2,點M是BC的中點,P是線段MC上的一個動點(不運動至M,C),以AB為直徑作⊙O,過點P的切線交AD于點F,切點為E。

(1)求四邊形CDFP的周長；(3分)
(2)請連結OF,OP,求證：OF⊥OP；(4分)
(3)延長DC,FP相交于點G,連結OE并延長交直線DC于H(如圖乙).是否存在點P
使△EFO∽△EHG(其對應關系是                              )?如果存在,試求此時的BP的長；如果不存在,請說明理由。(5分)

Answer 1

（1）6（2）證明見解析（3）存在，

解：(1)∵四邊形ABCD是正方形   ∴∠A=∠B=Rt∠ ∴AF、BP都是⊙O的切線  (1分)
又∵PF是⊙O的切線  ∴EF=FA,PE=PB  ∴四邊形CDFP的周長為AD+DC+CB=2×3="6" (3分)
(2)∴連結OE,∵PF是⊙O的切線 ∴OE⊥PF .
在Rt⊿AOF和Rt⊿EOF中∵AO=EO,OF=OF ∴Rt⊿AOF∽Rt⊿EOF∴∠AOF=∠EOF(5分)
同理∠BOP=∠EOP ∴∠EOF+∠EOP=1/2×180°=90°∴∠EOP=90°即OF⊥OP   (7分)
(3)存在(如果這一步不寫,但下面各步驟都正確,不扣分)  (8分)
∵∠EOF=∠AOF ∴∠EHG=∠AOE=2∠EOF,
∴當∠EHG=∠AOE=2∠EOF,即∠EOF=30°時   Rt⊿EOF∽Rt⊿EHG   (10分)
此時∠EOF=30°,∠BOP=∠EOP=90°－30°=60°
∴BP=OB·tan60°=  (12分)
（1）根據切線的性質，將所求四邊形CDFP的邊轉化為已知正方形ABCD的邊，即可求得；
（2）連結OE，根據切線的性質和相似三角形，求得∠EOP=90°，即可求得OF⊥OP；
（3）要△EFO∽△EHG，必須∠EHG=∠EFO=2∠EOF=60°，在直角△OBP中，由正切定理可求出BP的長．