Question

【題目】如圖，為線段上一動點，分別過點作，，連接.已知，設.

(1)用含的代數式表示的值;

(2)探究:當點滿足什么條件時，的值最小?最小值是多少?

(3)根據(2)中的結論，請構造圖形求代數式的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）三點共線時；（3）13

【解析】

試題（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故可由勾股定理表示；

（2）若點C不在AE的連線上，根據三角形中任意兩邊之和大于第三邊知，AC+CE＞AE，故當A、C、E三點共線時，AC+CE的值最小；

（3）由（1）（2）的結果可作BD=12，過點B作AB⊥BD，過點D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點C，則AE的長即為代數式的最小值，然后構造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性質可求得AE的值．

（1）；

（2）當三點共線時，的值最小．

（3）如下圖所示，作，過點作，過點作，使，．連結交于點，的長即為代數式的最小值．

過點作交的延長線于點，得矩形，

則，12．

所以，即的最小值為13．