Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，點(diǎn)P從A出發(fā)沿AC向C點(diǎn)以1厘米/秒的速度勻速移動(dòng)；點(diǎn)Q從C出發(fā)沿CB向B點(diǎn)以2厘米/秒的 速度勻速移動(dòng)．點(diǎn)P、Q分別從起點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，移動(dòng)到某一位置時(shí)所需時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t= 時(shí)，PQ∥AB

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ的面積等于5cm2？

（3）在P、Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，在某一時(shí)刻，若將△PQC翻折，得到△EPQ，如圖2，PE與AB能否垂直？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)2.4;(2)1;(3)見解析.

【解析】

（1）由PQ∥AB得出△PQC∽△ABC，從而得到比例式PC：AC=CQ：BC，建立關(guān)于t的方程，解方程求出t的值即可；

（2）由三角形面積公式可建立關(guān)于t的方程，解方程求出t的值即可；
（3）延長(zhǎng)QE交AC于點(diǎn)D，若PE⊥AB，則QD∥AB，所以可得△CQD∽△CBA，由相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比值相等可求出DE=0.5t，易證△ABC∽△DPE，再由相似三角形的性質(zhì)可得,把已知數(shù)據(jù)代入即可求出t的值．

解：(1) ∵點(diǎn)P從A出發(fā)沿AC向C點(diǎn)以1厘米/秒的速度勻速移動(dòng)；點(diǎn)Q從C出發(fā)沿CB向B點(diǎn)以2厘米/秒的速度勻速移動(dòng)，

∴PC=AC-AP=6-t，CQ=2t，

當(dāng)PQ∥AB時(shí)，∴△PQC∽△ABC，
∴PC：AC=CQ：BC，
∴(6-t)：6=2t：8

∴t=2.4

∴當(dāng)t=2.4時(shí)，PQ∥AB

（2）∵點(diǎn)P從A出發(fā)沿AC向C點(diǎn)以1厘米/秒的速度勻速移動(dòng)；點(diǎn)Q從C出發(fā)沿CB向B點(diǎn)以2厘米/秒的速度勻速移動(dòng)，

∴PC=AC-AP=6-t，CQ=2t，
∴S△CPQ= CPCQ=＝5，

∴t2-6t+5=0
解得t1=1，t2=5（不合題意，舍去）
∴當(dāng)t=1秒時(shí)，△PCQ的面積等于5cm2；
（3）能垂直，理由如下：
延長(zhǎng)QE交AC于點(diǎn)D，

∵將△PQC翻折，得到△EPQ，
∴△QCP≌△QEP，
∴∠C=∠QEP=90°，
若PE⊥AB，則QD∥AB，
∴△CQD∽△CBA，
∴，
∴，

∴QD=2.5t，
∵QC=QE=2t
∴DE=0.5t
∵∠A=∠EDP，∠C=∠DEP=90°，

∴△ABC∽△DPE，
∴
∴，
解得：，
綜上可知：當(dāng)t=時(shí)，PE⊥AB．