Question

【題目】如圖，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于點C，BD平分∠ABC，且交AE于點D，連接CD，求證：

（1）AC⊥BD；

（2）四邊形ABCD是菱形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）證得△BAC是等腰三角形后利用三線合一的性質得到AC⊥BD即可；

（2）首先證得四邊形ABCD是平行四邊形，然后根據對角線互相垂直得到平行四邊形是菱形．

（1）∵AE∥BF，

∴∠BCA＝∠CAD，

∵AC平分∠BAD，

∴∠BAC＝∠CAD，

∴∠BCA＝∠BAC，

∴△BAC是等腰三角形，

∵BD平分∠ABC，

∴AC⊥BD；

（2）∵△BAC是等腰三角形，

∴AB＝CB，

∵∠CBD＝∠ABD＝∠BDA，

∴△ABD也是等腰三角形，

∴AB＝AD，

∴DA＝CB，

∵BC∥DA，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵AC⊥BD，

∴四邊形ABCD是菱形．