Question

如圖，在直角坐標系xOy中，正方形OCBA的頂點A，C分別在y軸，x軸上，點B坐標為（6，6），拋物線y=ax²+bx+c經過點A，B兩點，且3a-b=-1．
（1）求a，b，c的值；
（2）如果動點E，F同時分別從點A，點B出發，分別沿A→B，B→C運動，速度都是每秒1個單位長度，當點E到達終點B時，點E，F隨之停止運動，設運動時間為t秒，△EBF的面積為S．
①試求出S與t之間的函數關系式，并求出S的最大值；
②當S取得最大值時，在拋物線上是否存在點R，使得以E，B，R，F為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出點R的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1），，；（2）s=-（t-3）²+，; （9，3）．

解析試題分析：（1）由于四邊形OABC是正方形，易知點A的坐標，將A、B的坐標分別代入拋物線的解析式中，聯立3a-b=-1，即可求得待定系數的值．
（2）①用t分別表示出BE、BF的長，利用直角三角形面積公式求出△EBF的面積，從而得到關于S、t的函數關系式，根據函數的性質即可求得S的最大值；
②當S取最大值時，即可確定BE、BF的長，若E、B、R、F為頂點的四邊形是平行四邊形，可有兩種情況：一、EB平行且相等于FR，二、ER平行且相等于FB；只需將E點坐標向上、向下平移BF個單位或將F點坐標向左、向右平移BE個單位，即可得到R點坐標，然后將它們代入拋物線的解析式中進行驗證，找出符合條件的R點即可．
（1）由已知A（0，6），B（6，6）在拋物線上，
得方程組，解得．

（2）①運動開始t秒時，EB=6-t，BF=t，
S=EB•BF=（6-t）t=-t²+3t，
以為S=-t²+3t=-（t-3）²+，
所以當t=3時，S有最大值．
②當S取得最大值時，
∵由①知t=3，
∴BF=3，CF=3，EB=6-3=3，
若存在某點R，使得以E，B，R，F為頂點的四邊形是平行四邊形，
則FR₁=EB且FR₁∥EB，
即可得R₁為（9，3），R₂（3，3）；
或者ER₃=BF，ER₃∥BF，可得R₃（3，9）．
再將所求得的三個點代入y=-x²+x+6，可知只有點（9，3）在拋物線上，
因此拋物線上存在點R（9，3），使得四邊形EBRF為平行四邊形．
考點：二次函數綜合題．