Question

【題目】（2017湖南省益陽市）在平面直角坐標系中，將一點（橫坐標與縱坐標不相等）的橫坐標與縱坐標互換后得到的點叫這一點的“互換點”，如（﹣3，5）與（5，﹣3）是一對“互換點”．

（1）任意一對“互換點”能否都在一個反比例函數的圖象上？為什么？

（2）M、N是一對“互換點”，若點M的坐標為（m，n），求直線MN的表達式（用含m、n的代數式表示）；

（3）在拋物線的圖象上有一對“互換點”A、B，其中點A在反比例函數的圖象上，直線AB經過點P（，），求此拋物線的表達式．

Answer 1

【答案】（1）不一定；（2）y=﹣x+m+n；（3）．

【解析】試題分析：（1）設這一對“互換點”的坐標為（a，b）和（b，a）．①當ab=0時，它們不可能在反比例函數的圖象上，②當ab≠0時，由b=可得a=，于是得到結論；

（2）把M（m，n），N（n，m）代入y=cx+d，即可得到結論；

（3）設點A（p，q），則q=，由直線AB經過點P（，），得到p+q=1，得到q=﹣1或q=2，將這一對“互換點”代入，于是得到結論．

試題解析：解：（1）不一定，設這一對“互換點”的坐標為（a，b）和（b，a）．

①當ab=0時，它們不可能在反比例函數的圖象上，②當ab≠0時，由b=可得a=，即（a，b）和（b，a）都在反比例函數（k≠0）的圖象上；

（2）由M（m，n）得N（n，m），設直線MN的表達式為y=cx+d（c≠0）．

則有： ，解得：，∴直線MN的表達式為y=﹣x+m+n；

（3）設點A（p，q），則q=，∵直線AB經過點P（，），由（2）得：，∴p+q=1，∴，解并檢驗得：p=2或p=﹣1，∴q=﹣1或q=2，∴這一對“互換點”是（2，﹣1）和（﹣1，2），將這一對“互換點”代入得，∴，解得：，∴此拋物線的表達式為．