Question

【題目】將正方形ABCD放在如圖所示的直角坐標系中,A點的坐標為(4,0),N點的坐標為(3,0)，MN平行于y軸，E是BC的中點，現將紙片折疊，使點C落在MN上，折痕為直線EF.

(1)求點G的坐標；

(2)求直線EF的解析式；

(3)設點P為直線EF上一點，是否存在這樣的點P，使以P, F, G的三角形是等腰三角形?若存在，直接寫出P點的坐標;若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）G點的坐標為：（3，4-）；（2）EF的解析式為：y=x+4-2；（3）P1（1，4-）、P2（，7-2），P3（-，2-1）、P4（3，4+）

【解析】分析：（1）點G的橫坐標與點N的橫坐標相同，易得EM為BC的一半減去1，為1，EG=CE=2，利用勾股定理可得MG的長度，4減MG的長度即為點G的縱坐標；

（2）由△EMG的各邊長可得∠MEG的度數為60°，進而可求得∠CEF的度數，利用相應的三角函數可求得CF長，4減去CF長即為點F的縱坐標，設出直線解析式，把E，F坐標代入即可求得相應的解析式；

（3）以點F為圓心，FG為半徑畫弧，交直線EF于兩點；以點G為圓心，FG為半徑畫弧，交直線EF于一點；做FG的垂直平分線交直線EF于一點，根據線段的長度和與坐標軸的夾角可得相應坐標．

詳解：（1）易得EM=1，CE=2，

∵EG=CE=2，

∴MG=，

∴GN=4-；

G點的坐標為：（3，4-）；

（2）易得∠MEG的度數為60°，

∵∠CEF=∠FEG，

∴∠CEF=60°，

∴CF=2，

∴OF=4-2，

∴點F（0，4-2）．

設EF的解析式為y=kx+4-2，

易得點E的坐標為（2，4），

把點E的坐標代入可得k=，

∴EF的解析式為：y=x+4-2．

（3）P1（1，4-）、P2（，7-2），

P3（-，2-1）、P4（3，4+）