Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，3）、B（6，3），連接AB．如果對于平面內(nèi)一點(diǎn)P，線段AB上都存在點(diǎn)Q，使得PQ≤1，那么稱點(diǎn)P是線段AB的“附近點(diǎn)”．

（1）請判斷點(diǎn)D（4.5，2.5）是否是線段AB的“附近點(diǎn)”；

（2）如果點(diǎn)H （m，n）在一次函數(shù)的圖象上，且是線段AB的“附近點(diǎn)”，求m的取值范圍；

（3）如果一次函數(shù)y=x+b的圖象上至少存在一個(gè)“附近點(diǎn)”，請直接寫出b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)D（4.5，2.5）是線段AB的“附近點(diǎn)”；

（2）m的取值范圍是；

（3）b的取值范圍是

【解析】

（1）點(diǎn)P是線段AB的“附近點(diǎn)”的定義即可判斷.

（2）首先求出直線y=x-2與線段AB交于（，3）分①當(dāng)m≥時(shí)，列出不等式即可解決問題.

（3）如圖，在Rt△AMN中，AM=1，∠MAN=45°，則點(diǎn)M坐標(biāo)（2-，3+），在Rt△BEF中，BE=1，∠EBF=45°，則點(diǎn)E坐標(biāo)（6+，3-），

分別求出直線經(jīng)過點(diǎn)M點(diǎn)E時(shí)的b的值，即可解決問題.

解：（1）∵點(diǎn)D到線段AB的距離是0.5，

∴0.5<1，

∴點(diǎn)D（4.5，2.5）是否是線段AB的“附近點(diǎn)”；

（2）∵點(diǎn)H（m，n）線段AB的“附加點(diǎn)”，點(diǎn)H（m，n）在直線y=x-2上，

∴n=m-2；

直線y=x-2 線段AB交于（，3）.

①當(dāng)m≥時(shí)，有n=m-2≥3，

又AB∥x軸，∴此時(shí)點(diǎn)H（m、n）到線段AB的距離是n-3.

∴0≤n-3，∴≤m≤5.

綜上所述，≤m≤5.

（3）如圖，在Rt△AMN中，AM=1，∠MAN=45°，則點(diǎn)M坐標(biāo)（2-，3+），

在Rt△BEF中，BE=1，∠ENF=45°，則點(diǎn)E坐標(biāo)（6+，3-），

當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過點(diǎn)M時(shí)，b=1+，當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過點(diǎn)E時(shí)，b=-3-，

∴-3-≤b≤1+.

“點(diǎn)睛”本題考查一次函數(shù)綜合題、線段AB的“附近點(diǎn)”的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會分類討論，學(xué)會利用特殊點(diǎn)解決問題，屬于中檔壓軸題.