Question

【題目】[材料閱讀]

材料一：如圖，，點在的平分線上，，點，D分別在上．可求得如下結論：，為定值．

材料二(性質)：四邊形的內角和為．

[問題解決]

（1）如圖，點在的平分線上，的邊與交于點，且，求的值(用含的式子表示)．

（2）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸，軸分別交于兩點，點是的中點，，與軸交于點,與軸的正半軸交于點，連接．求的長度．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的長度為或

【解析】

（1）如圖1，作于點F，根據角平分線的性質可得PE=PF，再根據材料二的結論和已知條件可得∠OCP=∠FDP，進一步即可根據AAS證明，從而得，由勾股定理易得，進而可推出，而OE可根據勾股定理求出，于是可得結論；

（2）分情況討論：①若點C在線段AO上，由一次函數與坐標軸的交點可得OA=OB=7，可得△AOB是等腰直角三角形，如圖2，連接，根據等腰直角三角形的性質和余角的性質可得OP=BP，∠PBO=∠POA =45°，∠OPC=∠BPD，進而可根據ASA證明，可得，然后在中利用勾股定理即可求出CD；

②若點C在射線AO上，如圖3，連接，仿①的思路利用ASA證明，可得，然后在中利用勾股定理求解即可．

解：(1)如圖1，作于點F，∵PO平分∠AOB，PE⊥OA，∴PE=PF，

在四邊形OCPD中，∵，∴由材料二的結論得：，

∵，∴∠OCP=∠FDP，

在△PEC和△PFD中，∵∠OCP=∠FDP，∠CEP=∠DFP=90°，PE=PF，

∴（AAS），∴．

∵，PE=PF，∴．

∴，

在中，∵，∴；

(2)分情況討論：①若點C在線段AO上，由直線，可得，A（0，7），∴OA=OB=7，∴△AOB是等腰直角三角形，

如圖2，連接，∵P為AB中點，∴OP=AP=BP，∠PBO=∠POC=∠POB=45°，∠OPB=90°，

∵，∴∠BPD+∠OPD=90°，

∵∠OPC+∠OPD=90°，∴∠OPC=∠BPD，

∴（ASA），∴，

又∵OB=7，∴OD=5，則在中，；

②若點C在射線AO上，如圖3，連接，

∵△AOB是等腰直角三角形，P為AB中點，

∴OP=BP，∠PBO=∠POA =45°，∠OPB=90°，

∴∠POC=∠PBD=135°，

又∵，∴∠BPD+∠CPB=90°，

∵∠OPC+∠CPB=90°，∴∠OPC=∠BPD，

∴（ASA），∴，

∵OB=7，∴，則在中，．

綜上所述，的長度為或．