Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B點（A點在B點的左邊），與y軸交點C的縱坐標為2．若方程x2+

b

a

x+

c

a

=0的兩根為x₁=1，x₂=-2．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若拋物線的頂點為M，點P為線段AM上一動點，過P點作x軸的垂線，垂足為H點，設OH的長為t，四邊形BCPH的面積為S，求S與t之間的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）將△BOC補成矩形，使△BOC的兩個頂點B、C成為矩形的一邊的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這一邊的對邊上，試直接寫出矩形的未知的頂點坐標

 

．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線過與y軸的交點的縱坐標為2，可得出c=2．根據題中給出的方程以及方程的解，可得出a，b以及a，c的比例關系，根據c的值，即可求出a，b的值，由此可求出拋物線的解析式．
（2）本題可根據拋物線的解析式得出各點的坐標，然后根據四邊形BCPH的面積=梯形PHOC的面積+△BOC的面積，可得出關于S，t的函數關系式．
（3）本題已告訴了O點在矩形的BC邊的對邊上，那么過矩形未知兩頂點的直線的解析式為y=-2x（直線BC的解析式是y=-2x+2，由于矩形的對邊互相平行，因此這條直線的斜率也是-2）．而矩形中過B點的BC的鄰邊的解析式為y=

1

2

x+2（兩直線垂直，斜率的積為-1）．由此可求出一個矩形未知頂點的坐標，同理可求出另一點的坐標．

解答：解：（1）由題意得：

- b a =1-2 c a =-2 c=2

，
解得

a=-1 b=-1 c=2

，
即拋物線的解析式為：y=-x²-x+2．

（2）根據（1）中拋物線的解析式可求得：A（-2，0），B（1，0），C（0，2），M（-

1

2

，

9

4

）．
如圖設拋物線的對稱軸與x軸交于N點，
∵PH∥MN，
∴

AH

AN

=

PH

NM

，
∵OH=t，AH=2-t，MN=

9

4

，AN=OA-ON=

3

2

，
∴PH=AH•MN÷AN=

6-3t

2

，
∴S=S_梯形PHOC+S_△BOC=

1

2

（PH+OC）•OH+

1

2

OB•OC=-

3

4

t2+

5

2

t+1（

1

2

≤t＜2）．

（3）（-

4

5

，

8

5

）（

1

5

，-

2

5

）．

點評：本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，二次函數的應用，矩形的判定等知識點．（3）中運用好平行和垂直時直線斜率的關系是解題的關鍵．