Question

【題目】（1）如圖1，在四邊形ABCD中，F、E分別是BC、AD的中點，連結EF并延長，分別與BA、CD的延長線交于點M、N，則∠BME=∠CNE，求證：AB=CD；（提示取BD的中點H，連結FH，HE作輔助線）

（2）如圖2，在△ABC中，且O是BC邊的中點，D是AC邊上一點，E是AD的中點，直線OE交BA的延長線于點G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的長度.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）OE=.

【解析】

（1）連結BD，取DB的中點H，連結EH、FH，證明出EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD，證出HE=HF，進而證出AB=CD；
（2）連結BD，取DB的中點H，連結EH、OH，證明出HO=HE，可證明證出△OEH是等邊三角形，進而求出OE=.

（1） 證明：如圖一，連結BD，取DB的中點H，連結EH、FH.

∵E、F分別是AD、BC的中點，

∴EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD，

∵∠BME=∠CNE，

∴∠HEF=∠HFE，

∴HE=HF，

∴AB=CD；

（2） 如圖二，連結BD，取DB的中點H，連結EH、OH，

∵AB=CD，HE為△ABD的中位線，HO為△BCD的中位線，

∴HO=HE=AB=CD，，

∴∠HOE=∠HEO，

∵OH∥AC，∠OEC=60°，

∴∠OEH=∠HOE=∠OEC=60°，

∴△OEH是等邊三角形，

∵AB=DC=5，

∴OE=.

故答案為：（1）證明見解析；（2）OE=.