Question

【題目】定義：若經過三角形頂點的一條直線把三角形分割出至少一個圖形與原三角形相似，則稱這條直線為三角形的自似線，如圖，△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠C＜∠B＜∠A，過頂點A作∠CAD1＝∠B，交邊BC于點D1，依次過頂點D1作∠CD1D2＝∠CAD1，過點D2作∠CD2D3＝∠CD1D2，…，過點Dn－1作∠CDn－1Dn＝∠CDn－2Dn－1.

(1)試證直線AD1是△ABC的自似線；

(2)試求線段CD1的長，并猜想CDn的長；

(3)當60°＜∠A＜120°，且n＝5時，與△ABC相似的三角形有幾個？

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) CD1=， ；(3)當∠ A＝90°時，與△ABC相似的三角形有10個；當∠ A≠90°時，與△ABC相似的三角形有5個．　

【解析】

(1)由∠C＝∠ C，∠CAD1＝∠ B，得△CAD1∽△CBA，即直線AD1是△ABC的自似線．

(2)由(1)得△CAD1∽△CBA，, 可得CD1=，.

(3)畫圖可知當∠ A＝90°時，與△ABC相似的三角形有10個；當∠ A≠90°時，與△ABC相似的三角形有5個．

(1)證明：∵∠C＝∠ C，∠CAD1＝∠ B，

∴△CAD1∽△CBA，

∴直線AD1是△ABC的自似線．　

(2)由(1)得△CAD1∽△CBA，

∴,

∴CD1=， .

(3)當∠ A＝90°時，與△ABC相似的三角形有10個；當∠ A≠90°時，與△ABC相似的三角形有5個．