Question

【題目】如圖，∠ABC=45°，△ADE是等腰直角三角形，AE=AD，頂點A、D分別再∠ABC的兩邊BA、BC上滑動（不與點B重合），△ADE的外接圓交BC于點F，O為圓心．

（1）直接寫出∠AFE的度數；

（2）當點D在點F的右側時，①求證：EF﹣DF=AF；

②若AB=，＜BE≤，求⊙O的面積S的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）①證明見解析；②16π＜S＜40π．

【解析】

試題分析：（1）根據等腰直角三角形的性質和圓周角定理即可得到結論；

（2）①根據已知條件得到AB=AF，∠BAF=90°推出△ABD≌△AFE，根據全等三角形的性質得到BD=EF，由線段的和差得到EF﹣DF=BD﹣DF=BF，根據三角函數的定義得到BF=AF，即可得到結論；

②由（2）①得BD=EF，根據已知條件得到BF=8，根據勾股定理得到＜BE≤，求得8＜EF＜12，于是得到S=（x﹣4）2+8π，根據二次函數的性質即可得到結論．

試題解析：（1）∠AFE=45°，連接AF，∵△ADE是等腰直角三角形，∴∠AFE=∠EDF=45°；

（2）①連接EF，∵∠EFD=∠EAD=90°，∴∠BFE=90°，∵∠AFE=45°，∴∠AFB=∠AFE=45°，∴AB=AF，∠BAF=90°，∴∠BAD=∠FAE，在△ABD和△AFE中，∵AD=AE，∠BAD=∠FAE，AB=AF，∴△ABD≌△AFE，∴BD=EF，∴EF﹣DF=BD﹣DF=BF，∵AF=BFcos∠AFB=BF，即BF=AF，∴EF﹣DF=AF；

②由（2）①得BD=EF，∵∠BAF=90°，AB=，∴BF===8，設BD=x，則EF=x，DF=x﹣8，∵BE2=EF2+BF2，＜BE≤，∴128＜EF2+82＜208，∴8＜EF＜12，即8＜x＜12，∴S=DE2= [x2+（x﹣8）2]=（x﹣4）2+8π，∵＞0，∴拋物線的開口向上，∵拋物線的對稱軸為直線x=4，∴當8＜x＜12時，S隨x的增大而增大，∴16π＜S＜40π．