Question

【題目】已知等邊△ABC內接于⊙O，AD為O的直徑交線段BC于點M，DE∥BC，交AB的延長線于點E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若等邊△ABC的邊長為6，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）2

【解析】

試題分析：（1）由等邊三角形的性質得出O即是△ABC的外心，又是△ABC的內心，得出∠BAM=∠CAM=30°，因此∠AMB=90°，由平行線的性質得出∠EDA=90°，即可得出結論；

（2）由等邊三角形的性質得出BM=AB=3，連接OB，則∠OBM=30°，得出OM=OB，由勾股定理求出OB，由平行線的性質得出=，求出AE，即可得出BE的長．

（1）證明：∵等邊△ABC內接于⊙O，

∴∠ABC=60°，O即是△ABC的外心，又是△ABC的內心，

∴∠BAM=∠CAM=30°，

∴∠AMB=90°，

∵DE∥BC，

∴∠EDA=∠AMB=90°，

∵AD為⊙O的直徑，

∴DE是⊙O的切線；

（2）解：∵△ABC是等邊三角形，

∴BM=AB=3，

連接OB，如圖所示：

則∠OBM=30°，

∴OM=OB，

由勾股定理得：OB2﹣OM2=BM2，

即OB2﹣（OB）2=32，

解得：OB=2，

∴OM=，AM=3，AD=4，

∵DE∥BC，

∴=，即=，

解得：AE=8，

∴BE=AE﹣AB=8﹣6=2．