Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+ 與x軸交于A(-3,0)，B(1,0)兩點，與y軸交于點C，點D與點C關于拋物線的對稱軸對稱.

（1）求拋物線的解析式，并直接寫出點D的坐標；
（2）如圖1，點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度沿A→B勻速運動，到達點B時停止運動.以AP為邊作等邊△APQ（點Q在x軸上方）.設點P在運動過程中，△APQ與四邊形AOCD重疊部分的面積為S，點P的運動時間為t秒，求S與t之間的函數關系式；
（3）如圖2，連接AC，在第二象限內存在點M，使得以M、O、A為頂點的三角形與△AOC相似.請直接寫出所有符合條件的點M坐標.

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=ax2+bx+ 經過A（﹣3，0），B（1，0）兩點，

∴ ，

解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2﹣ x+ ；

則D點坐標為（﹣2， ）

（2）解：∵點D與A橫坐標相差1，縱坐標之差為 ，則tan∠DAP= ，

∴∠DAP=60°，

又∵△APQ為等邊三角形，

∴點Q始終在直線AD上運動，當點Q與D重合時，由等邊三角形的性質可知：AP=AD= ．

①當0≤t≤2時，P在線段AO上，此時△APQ的面積即是△APQ與四邊形AOCD的重疊面積．

AP=t，

∵∠QAP=60°，

∴點Q的縱坐標為tsin60°= t，

∴S= × t×t= t2．

②當2＜t≤3時，如圖：

此時點Q在AD的延長線上，點P在OA上，

設QP與DC交于點H，

∵DC∥AP，

∴∠QDH=∠QAP=∠QHD=∠QPA=60°，

∴△QDH是等邊三角形，

∴S=S△QAP﹣S△QDH，

∵QA=t，

∴S△QAP= t2．

∵QD=t﹣2，

∴S△QDH= （t﹣2）2，

∴S= t2﹣ （t﹣2）2= ﹣ ．

③當3＜t≤4時，如圖：

此時點Q在AD的延長線上，點P在線段OB上，

設QP與DC交于點E，與OC交于點F，過點Q作AP的垂涎，垂足為G，

∵OP=t﹣3，∠FPO=60°，

∴OF=OPtan60°= t﹣3），

∴S△FOP= × （t﹣3）（t﹣3）= （t﹣3）2，

∵S=S△QAP﹣S△QDE﹣S△FOP，S△QAP﹣S△QDE= t﹣ ．

∴S= t﹣ ﹣ （t﹣3）2= t2+4 t﹣ ．

綜上所述，S與t之間的函數關系式為

（3）解：∵OC= ，OA=3，OA⊥OC，則△OAC是含30°的直角三角形．

①當△AMO以∠AMO為直角的直角三角形時；如圖，過點M2作AO的垂線，垂足為N，

∵∠M2AO=30°，AO=3，

∴M2O= ，

又∵∠OM2N=M2AO=30°，

∴ON= OM2= ，M2N= ON ，

∴M2的坐標為（﹣ ， ）．

同理可得M1的坐標為（﹣ ， ）．

②當△AMO以∠OAM為直角的直角三角形時；如圖：

∵以M、O、A為頂點的三角形與△OAC相似，

∴ ，或 = ，

∵OA=3，

∴AM= 或AM= ，

∵AM⊥OA，且點M在第二象限，

∴點M的坐標為（﹣3， ）或（﹣3，3 ）．

綜上所述，符合條件的點M的所有可能的坐標為（﹣3， ），（﹣3，3 ），（ ， ，（﹣ ， ）．

【解析】（1）把A、B兩點的坐標代入拋物線解析式，求出拋物線的解析式，由拋物線與y軸交于點C，點D與點C關于拋物線的對稱軸對稱，由頂點式得到D點坐標；（2）由點D與A橫坐標相差1，縱坐標之差為 3 ，得到tan∠DAP= 3 ，∠DAP=60°，又△APQ為等邊三角形，得到點Q始終在直線AD上運動，當點Q與D重合時，由等邊三角形的性質和勾股定理求出：AP=AD的值；①當0≤t≤2時，P在線段AO上，此時△APQ的面積即是△APQ與四邊形AOCD的重疊面積；②當2＜t≤3時，此時點Q在AD的延長線上，點P在線段OB上，根據已知條件和三角形的面積公式，得到S與t之間的三種函數關系式；（3）根據已知可得△OAC是含30°的直角三角形，①當△AMO以∠AMO為直角的直角三角形時，根據在直角三角形中，30度角所對的邊是斜邊的一半，求出M2的坐標，同理可得M1的坐標；②當△AMO以∠OAM為直角的直角三角形時，以M、O、A為頂點的三角形與△OAC相似，得到比例，求出AM的值，得到點M的坐標；此題是綜合題，難度較大，計算和解方程時需認真仔細.