Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝x+b的圖象經過點A（0，1），與反比例函數y＝（x＞0）的圖象交于B（m，2）．

（1）求k和b的值；

（2）在雙曲線y＝（x＞0）上是否存在點C，使得△ABC為等腰直角三角形？若存在，求出點C坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）k＝2，b＝1；（2）C（2，1）．

【解析】

（1）將點A坐標代入直線y=x+b中求出b，進而求出點B坐標，最后代入反比例函數解析式中，求出k；
（2）先求出AB的長，再分三種情況，利用等腰直角三角形的性質求出點C的坐標，判斷即可得出結論．

（1）將A（0，1）代入y＝x+b中得，0+b＝1

∴b＝1

將B（m，2）代入y＝x+1中得，m+1＝2

∴m＝1

∴B（1，2）

將B（1，2）代入y＝中得，k＝1×2＝2

∴k＝2，b＝1；

（2）∵A（0，1），B（1，2），

∴AB＝，

由（1）知，b＝1，

∴直線AB的解析式為y＝x+1，

分情況討論：

△ABC是等腰直角三角形

①當∠CAB＝90°時，AC＝AB，

∴直線AC的解析式為y＝﹣x+1，

設C（c，﹣c+1），

∴AC＝，

∴c＝±1，

∴C為（﹣1，2）或（1，0），

將點C代入中判斷出都不在雙曲線上，．

②當∠ABC＝90°時，同①的方法得，C為（2，1）或（0，3），

將點C坐標代入中得，判斷出點C（2，1）在雙曲線上，

③當∠ACB＝90°時，

∵A（0，1），B（1，2），

易知，C為（1，1）或（0，2），

將點C坐標代入中判斷出都不在雙曲線上，

∴C（2，1）．