Question

已知，直線y₁=k₁x和反比例函數y₂=

k2

x

的圖象都經過點A（2，4）和點B，過A點作AE⊥x軸，垂足為E點．
（1）則k₁=

2

，k₂=

8

S_△AOE=

4

；
（2）根據圖象，寫出不等式k₁x＞

k2

x

的解集；
（3）P為x軸上的點，且△POA是以OA為腰的等腰三角形，求出P點的坐標；
（4）Q為坐標平面上的點，且以點B、O、E、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出滿足條件的所有Q點的坐標．

Answer 1

分析：（1）將A坐標代入正比例解析式中求出k₁的值，代入反比例解析式求出k₂的值，由A的坐標求出AE與OE的長，利用三角形面積公式求出三角形AOE面積即可；
（2）根據對稱性求出B的坐標，利用圖象找出一次函數圖象在反比例函數圖象上方時x的范圍即可；
（3）在直角三角形AOE中，有AE與OE長，利用勾股定理求出OA長，分兩種情況考慮：以O為圓心，OA長為半徑畫弧，與x軸交于P₁，P₂兩點，求出此時P₁與P₂的坐標；以A為圓心，OA長為半徑畫弧，與x軸交于P₃，求出此時P₃的坐標即可；
（4）如圖所示，過B作Q₁Q₂∥OE，截取BQ₁=BQ₂=OE=2，求出此時Q₁與Q₂的坐標；延長Q₁O，Q₂E，延長線交于點Q₃，求出此時Q₃坐標即可．

解答：解：（1）將A（2，4）代入直線y₁=k₁x得：4=2k₁，即k₁=2；
將A（2，4）代入反比例解析式y₂=

k2

x

得：4=

k2

2

，即k₂=8；
∵A（2，4），即AE=4，OE=2，
∴S_△AOE=

1

2

AE•OE=4；
                     
（2）由對稱性得到B（-2，-4），
根據圖象得：k₁x＞

k2

x

的解集為x＞2或-2＜x＜0；

（3）如圖所示，在Rt△AOE中，AE=4，OE=2，
根據勾股定理得：OA=

42+22

=2

5

，
以O為圓心，OA長為半徑畫弧，與x軸交于P₁，P₂兩點，
此時P₁（-2

5

，0），P₂（2

5

，0）；
以A為圓心，OA長為半徑畫弧，與x軸交于P₃，此時P₃（4，0）；
綜上，滿足題意P的坐標為（-2

5

，0）或（2

5

，0）或（4，0）；

（4）如圖所示，過B作Q₁Q₂∥OE，截取BQ₁=BQ₂=OE=2，此時Q₁（-4，-4），Q₂（0，-4）；
延長Q₁O，Q₂E，延長線交于點Q₃，此時Q₃（4，4）．
故答案為：2；8；4．

點評：此題考查了反比例函數綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，等腰三角形的性質，平行四邊形的性質，待定系數法求函數解析式，利用了數形結合的思想，第3、4問是探究性試題，注意點坐標找對找全．