Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+4的圖象經過A（﹣3，0），B（5，4），與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；
（2）線段AB在第一象限內的部分上有一動點P，過點P作y軸的平行線，交拋物線于點Q，是否存在點P使四邊形BPCQ的面積最大？如果存在，請求出點P的坐標及面積的最大值；如果不存在，說明理由；
（3）x軸正半軸上有一點D（1，0），線段AC上是否存在點M，使△AOM∽△ADC？如果存在，直接寫出點M的坐標；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：根據題意得 ，解得a=﹣ ，b= ，

所以拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+4

（2）

解：存在．

如圖，設直線AB的解析式為y=mx+n，

把A（﹣3，0），B（5，4）代入得 ，解得 ，

∴直線AB的解析式為y= x+ ，

當x=0時，y=﹣ x2+ x+4=4，則C（0，4），

而B（5，4），

∴BC⊥y軸，

∵QP∥y軸，

∴BC⊥PQ，

設P（t， t+ ）（0＜t＜5），則Q（t，﹣ t2+ t+4），

∴QP=﹣ t2+ t+4﹣ t﹣ t=﹣ t2+ t+ ，

∴S四邊形BPCQ=S△CPQ+S△BPQ= PQBC= 5（﹣ t2+ t+ ）

=﹣ t2+ t+

=﹣ （t﹣1）2+ ，

當t=1時，S四邊形BPCQ有最大值，最大值為 ，

此時P點坐標為（1，2）

（3）

解：存在．

直線AC的解析式為y= x+4，直線CD的解析式為y=﹣4x+4，

∵△AOM∽△ADC，

∴∠AOM=∠ADC，

∴OM∥CD，

∴直線OM的解析式為y=﹣4x，

解方程組 得 ，

∴M點的坐標為（﹣ ，3）．

【解析】（1）把A點和B點坐標代入y=ax2+bx+4得到關于a和b的方程組，然后解方程組求出a和b即可得到拋物線解析式；（2）如圖，先利用待定系數法求出直線AB的解析式為y= x+ ，則求出C點坐標，從而可判斷BC⊥PQ，設P（t， t+ ）（0＜t＜5），則Q（t，﹣ t2+ t+4），再用t表示出QP，然后根據三角形面積公式，利用S四邊形BPCQ=S△CPQ+S△BPQ得到S四邊形BPCQ=﹣ t2+ t+ ，然后根據二次函數的性質求解；（3）先利用待定系數法求出直線AC的解析式為y= x+4，直線CD的解析式為y=﹣4x+4，則根據相似的性質得到∠AOM=∠ADC，于是可判斷OM∥CD，易得直線OM的解析式為y=﹣4x，然后通過解方程組 可得M點的坐標．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．