Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點E是上一點，∠DAC=∠AED．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2） 若點E是的中點，連結AE交BC于點F，當BD=5，  CD=4時，求DF的值．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）2．

試題分析：（1）證明，可得∠BAC=∠ADC=90°，繼而可判斷AC是⊙O的切線．
（2）由△ADC∽△BAC可求得AC=6，由點E是的中點，證明△CAE是等腰三角形，即CA=CF=6，從而求得DF的值．
（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵∠B=∠AED =∠CAD，∠C=∠C，
∴．
∴∠BAC=∠ADC=90°．
∴AC是⊙O的切線．
（2）可證△ADC∽△BAC．
∴ ，即AC²=BC×CD=36．解得 AC=6．
∵點E是的中點，
∴∠DAE=∠BAE．
∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，
∴CA=CF=6，
∴DF=CA﹣CD=2．