Question

17．如圖，已知拋物線y=-x²+px+q的對稱軸為x=-3，過其頂點M的一條直線y=kx+b與該拋物線的另一個交點為N（-1，1）．要在坐標軸上找一點P，使得△PMN的周長最小，則點P的坐標為（0，2）．

Answer 1

分析 首先，求得拋物線的解析式，根據拋物線解析式求得M的坐標；欲使△PMN的周長最小，MN的長度一定，所以只需（PM+PN）取最小值即可．然后，過點M作關于y軸對稱的點M′，連接M′N，M′N與y軸的交點即為所求的點P（如圖1）；過點M作關于x軸對稱的點M′，連接M′N，則只需M′N與x軸的交點即為所求的點P（如圖2）．

解答 解：如圖，∵拋物線y=-x²+px+q的對稱軸為x=-3，點N（-1，1）是拋物線上的一點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{p}{2}=-3}\\{-1-p+q=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{p=-6}\\{q=-4}\end{array}\right.$．
∴該拋物線的解析式為y=-x²-6x-4=-（x+3）²+5，
∴M（-3，5）．
∵△PMN的周長=MN+PM+PN，且MN是定值，所以只需（PM+PN）最小．
如圖1，過點M作關于y軸對稱的點M′，連接M′N，M′N與y軸的交點即為所求的點P．則M′（3，5）．
設直線M′N的解析式為：y=ax+t（a≠0），
則$\left\{\begin{array}{l}{5=3a+t}\\{1=-a+t}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{t=2}\end{array}\right.$，
故該直線的解析式為y=x+2．
當x=0時，y=2，即P（0，2）．
同理，如圖2，過點M作關于x軸對稱的點M′，連接M′N，則只需M′N與x軸的交點即為所求的點P（-$\frac{4}{3}$，0）．
如果點P在y軸上，則三角形PMN的周長=4$\sqrt{2}$+MN；如果點P在x軸上，則三角形PMN的周長=2$\sqrt{10}$+MN；
所以點P在（0，2）時，三角形PMN的周長最小．
綜上所述，符合條件的點P的坐標是（0，2）．
故答案為（0，2）．

點評 本題考查了軸對稱-最短路線問題，二次函數的性質，待定系數法求一次函數的解析式，一次函數圖象上點的坐標特征．在求點P的坐標時，一定要注意題目要求是“要在坐標軸上找一點P”，所以應該找x軸和y軸上符合條件的點P，不要漏解，這是同學們容易忽略的地方．