Question

【題目】已知有理數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，其中b是最小的正整數(shù)，滿足．

（1）填空：__________，_____________，___________；

（2）現(xiàn)將點(diǎn)A，點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度，1個(gè)單位長(zhǎng)度和1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在數(shù)軸上同時(shí)向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

i）定義：已知為數(shù)軸上任意兩點(diǎn)，將數(shù)軸沿線段的中點(diǎn)Q進(jìn)行折疊，點(diǎn)M與點(diǎn)N剛好重合，所以我們又稱線段的中點(diǎn)Q為點(diǎn)M和點(diǎn)N的折點(diǎn)．

試問(wèn)：當(dāng)t為何值時(shí)，這三個(gè)點(diǎn)中恰好有一點(diǎn)為另外兩點(diǎn)的折點(diǎn)？

ii）當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)C左側(cè)時(shí)（不考慮點(diǎn)A與點(diǎn)B重合），是否存在一個(gè)常數(shù)m，使得的值在一定時(shí)間范圍內(nèi)不隨t的改變而改變？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）-2,1,5；（2）i）當(dāng)t= 或t=時(shí)，這三個(gè)點(diǎn)中恰好有一點(diǎn)為另外兩點(diǎn)的折點(diǎn)；ii）存在，當(dāng)常數(shù)m=2時(shí)，的值在一定時(shí)間范圍內(nèi)不隨t的改變而改變.

【解析】

（1）根據(jù)b是最小的正整數(shù)得到b=1，根據(jù) 求出a=-2，c=5；

（2）i）先得到運(yùn)動(dòng)t秒后三個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)，再分三種情況分別計(jì)算t的值；

ii）先分別用t表示出AC、AB，再根據(jù)將AC、AB的式子代入即可求出常數(shù)m的值.

（1）∵b是最小的正整數(shù)，

∴b=1，

∵，

∴a+2=0，c-5=0，

∴a=-2，c=5，

故答案為：-2,1,5；

（2）

i）t秒后點(diǎn)A、B、C表示的數(shù)分別是：4t-2，1+t，5+t，

當(dāng)點(diǎn)A是中點(diǎn)時(shí)，1+t+5+t=2（4t-2），得t= ，

當(dāng)點(diǎn)B是中點(diǎn)時(shí)，4t-2+5+t=2（1+t），得t=（舍去），

當(dāng)點(diǎn)C是中點(diǎn)時(shí)，4t-2+1+t=2（5+t），得t=，

綜上，當(dāng)t= 或t=時(shí)，這三個(gè)點(diǎn)中恰好有一點(diǎn)為另外兩點(diǎn)的折點(diǎn)；

ii）存在，

∵t秒后點(diǎn)A、B、C表示的數(shù)分別是：4t-2，1+t，5+t，

∴AC=5+t-4t+2=7-3t，

當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)即AB =4t-2-1-t =3t-3時(shí)，

= ，

∴常數(shù)m=2，此時(shí)=2AC+2AB=8，即AC+AB=4，

∵AC+AB=7-3t+3t-3=4，

∴當(dāng)常數(shù)m=2時(shí)，的值在一定時(shí)間范圍內(nèi)不隨t的改變而改變；

當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)即AB=1+t-4t+2=3-3t時(shí)，

=，

∴常數(shù)m=-2，此時(shí)=2AC-2AB=20，即AC-AB=10，

∵7-3t-(3-3t)=4，

∴m=-2舍去，

綜上，當(dāng)常數(shù)m=2時(shí)，的值在一定時(shí)間范圍內(nèi)不隨t的改變而改變.