Question

已知：以原點O為圓心、5為半徑的半圓與y軸交于A、G兩點，AB與半圓相切于點A，點B的坐標為（3，y_B）（如圖1）；過半圓上的點C（x_C，y_C）作y軸的垂線，垂足為D；Rt△DOC的面積等于

3

8

x_C²．
（1）求點C的坐標；
（2）①命題“如圖2，以y軸為對稱軸的等腰梯形MNPQ與M₁N₁P₁Q₁的上底和下底都分別在同一條直線上，NP∥MQ，PQ∥P₁Q₁，且NP＞MQ．設拋物線y=a₀x²+h₀過點P、Q，拋物線y=a₁x²+h₁過點P₁、Q₁，則h₀＞h₁”是真命題．請你以Q（3，5）、P（4，3）和Q₁（p，5）、P₁（p+1，3）為例進行驗證；
②當圖1中的線段BC在第一象限時，作線段BC關于y軸對稱的線段FE，連接BF、CE，點T是線段BF上的動點（如圖3）；設K是過T、B、C三點的拋物線y=ax²+bx+c的頂點，求K的縱坐標y_K的取值范圍．

Answer 1

（1）y_B=5=半徑；

1

2

x_Cy_C=

3

8

x_C²，x_C²+y²_C=25，
得C（4，3）（2分）和C（4，-3）

（2）①過點P（4，3）、Q（3，5）的拋物線y=a₀x²+h₀
即為y=-

2

7

x²+

53

7

，得h₀=

53

7

．
過P₁（p+1，3）、Q₁（p，5）的拋物線y=a₁x²+h₁
為y=-

2

2p+1

•x²+

2p2+10p+5

2p+1

，
h₁=

2p2+10p+5

2p+1

．
h₀-h₁=

53

7

-

2p2+10p+5

2p+1

=

-2(7p+3)(p-3)

7(2p+1)

=

2(7p+3)(3-p)

7(2p+1)

，
∵MQ＞M₁Q₁，其中MQ=6，
∴0≤p=

1

2

M₁Q₁＜3，可知0≤p＜3；
∴7p+3＞0，2p+1＞0，3-p＞0，
因而得到h₀-h₁＞0，證得h₀＞h₁．
或者說明2p+1＞0，-14p²+36p+18在0≤p＜3時總是大于0，
得到h₀-h₁＞0．
②顯然拋物線y=ax²+bx+c的開口方向向下，a＜0．
當T運動到B點時，這時B、T、K三點重合即B為拋物線的頂點，∴y_K≥5；
將過點T、B、C三點的拋物線y=ax²+bx+c沿x軸平移，使其對稱軸為y軸，這時y_K不變．
則由上述①的結論，
當T在FB上運動時，過F（-3，5）、B（3，5）、C（4，3）三點的拋物線的頂點為最高點，
∴y_K≤

53

7

，
∴5≤y_K≤

53

7

．